函数f(x)的定义域D={x|x≠0},且满足对任意x1,x2∈D有f(x1•x2)=f(x1)+f(x2)(1)求f(1),f(-1)的值.(2)判断f(x)
题型:解答题难度:一般来源:不详
函数f(x)的定义域D={x|x≠0},且满足对任意x1,x2∈D有f(x1•x2)=f(x1)+f(x2) (1)求f(1),f(-1)的值. (2)判断f(x)的奇偶性并证明. (3)如果f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)≤3,且f(x)在(0,+∞)上是增函数,求x的取值范围. |
答案
(1)∵对任意x1,x2∈D有f(x1•x2)=f(x1)+f(x2) 令x1=x2=1,则f(1•1)=f(1)+f(1) 解得f(1)=0 令x1=x2=-1,则f(-1•-1)=f(-1)+f(-1) 解得f(-1)=0 (2)f(x)为偶函数,证明如下: 令x1=-1,x2=x, 则f(-x)=f(-1)+f(x), 即f(-x)=f(x), 即f(x)为偶函数 (3)∵f(4)=1, ∴f(64)=3f(4)=3, 由f(3x+1)+f(2x-6)≤3得 f(3x+1)+f(2x-6)≤f(64) ∵f(x)为偶函数双,又因为f(x)在(0,+∞)上是增函数, ∴|(3x+1)•(2x-6)|≤64,且3x+1≠0,2x-6≠0, 解各-≤x≤5且x≠-,x≠3 ∴x的取值范围为{x|-≤x≤5且x≠-,x≠3} |
举一反三
已知函数f(x)=则f[f(-1)]的值为______. |
若函数y=x-+在(1,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,-1] | B.[-1,+∞) | C.(-∞,1] | D.[1,+∞) |
|
已知函数f(x)=ln. (1)求函数f(x)的定义域; (2)判断函数f(x)的奇偶性并加以证明; (3)判断函数f(x)在定义域上的单调性并加以证明. |
已知函数f(x)为偶函数,当x∈[0,+∞)时,f(x)=x-1,则满足f(x)<0的实数x的取值范围是______. |
设函数f(x)(x∈N)表示x除以2的余数,函数g(x)(x∈N)表示x除以3的余数,则对任意的x∈N,给出以下式子: ①f(x)≠g(x);②g(2x)=2g(x);③f(2x)=0;④f(x)+f(x+3)=1.其中正确的式子编号是______.(写出所有符合要求的式子编号) |
最新试题
热门考点