判断f(x)=x1+x（x∈[0，3]）的单调性，并证明你的结论．

题型：解答题难度：一般来源：不详

判断f(x)=

x

1+x

（x∈[0，3]）的单调性，并证明你的结论．

答案

f(x)=1+

-1

x+1

在[0，3]上递增，（2分）
理由如下：
任取x₁，x₂∈[0，3]，且x₁＜x₂，
则f（x₂）-f（x₁）=1+

-1

x2+1

-(1+

-1

x1+1

)=

x2-x1

(x2+1)(x1+1)

，（6分）
∵x₂+1＞0，x₁+1＞0，（8分）
又∵x₂-x₁＞0，
∴f （x₂）-f （x₁）=

x2-x1

(x2+1)(x1+1)

＞0，（9分）
∴f （x） 在[0，3]上递增．（10分）