已知函数f（x）对任意的x，y∈R，都有f（x）+f（y）=f（x+y）．（1）求f（0）的值；（2）判断f（x）的奇偶性；（3）若f（1）=1，且f（x）在[
题型：解答题难度：一般来源：不详
已知函数f（x）对任意的x，y∈R，都有f（x）+f（y）=f（x+y）．
（1）求f（0）的值；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）若f（1）=1，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，求满足不等式f（2x-x）+f（x）＞4的x的取值范围． |
答案
（1）取y=0，得f（x）+f（0）=f（x+0）=f（x），
∴f（0）=0；
（2）取y=-x，得f（x）+f（-x）=f（0）=0，
∴对任意x∈R，都有f（-x）=-f（x）
由此可得，f（x）是定义在R 上的奇函数；
（3）∵f（1）=1，可得f（2）=f（1）+f（1）=2
∴f（4）=f（2）+f（2）=2+2=4
不等式f（2x-x）+f（x）＞4，可化成f（2x-x+x）＞f（4），即f（2x）＞f（4），
∵f（x）在[0，+∞）上是增函数，
∴2x＞4，解之得x＞2，
即满足不等式f（2x-x）+f（x）＞4的x的取值范围为（2，+∞）． |
举一反三
| 已知f（x）=，g(x)=，则f[g（-2）]=（ ） |
| 设f（x）是定义在（-∞，+∞）上的函数，对于任意x∈R，f(x+1)=，且当0＜x≤1时，f（x）=x，则f（5.5）=（ ） |
已知函数f（x）=1+a•()x+()x；g（x）=．
（1）若对任意x∈[0，+∞），总有f（x）＞0成立，求实数a的取值范围；
（2）若m＞0（m为常数），且对任意x∈[0，1]，总有|g（x）|≤M成立，求M的取值范围． |
| f（x），g（x）都是定义在R上的奇函数，且F（x）=3f（x）+5g（x）+2，若 F（a）=3，则F（-a）=______． |
| 已知函数f(x)=，若f（x0）=8，则x0=______． |
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