已知函数f（x）=ax2+2x+c（a、c∈N*）满足：①f（1）=5；②6＜f（2）＜11．（1）求a、c的值；（2）若对任意的实数x∈[12，32]，都有f

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=ax²+2x+c（a、c∈N^*）满足：①f（1）=5；②6＜f（2）＜11．
（1）求a、c的值；
（2）若对任意的实数x∈[

1

2

，

3

2

]，都有f（x）-2mx≤1成立，求实数m的取值范围．

答案

（1）∵f（1）=a+2+c=5，
∴c=3-a．①
又∵6＜f（2）＜11，即6＜4a+c+4＜11，②
将①式代入②式，得-

1

3

＜a＜

4

3

，又∵a、c∈N^*，∴a=1，c=2．
（2）由（1）知f（x）=x²+2x+2．
证明：∵x∈[

1

2

，

3

2

]，∴不等式f（x）-2mx≤1恒成立⇔2（1-m）≤-（x+

1

x

）在[

1

2

，

3

2

]上恒成立．
易知[-（x+

1

x

）]_min=-

5

2

，
故只需2（1-m）≤-

5

2

即可．
解得m≥

9

4

．