已知函数f(x)=x+ax2+bx+1是奇函数,(1)求实数a和b的值;(2)判断函数y=f(x)在(1,+∞)的单调性,并利用定义加以证明.

已知函数f(x)=x+ax2+bx+1是奇函数,(1)求实数a和b的值;(2)判断函数y=f(x)在(1,+∞)的单调性,并利用定义加以证明.

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=
x+a
x2+bx+1
是奇函数,
(1)求实数a和b的值;
(2)判断函数y=f(x)在(1,+∞)的单调性,并利用定义加以证明.
答案
(1)∵f(x)=
x+a
x2+bx+1
是奇函数,
∴f(0)=
0+a
02+0•x+1
=0,
∴a=0;…(2分)
又因f(-x)=-f(x),即
-x
(-x)2+b(-x)+1
=-
x
x2+bx+1

∴b=0…(4分)
(2)函数y=f(x)在(1,+∞)单调递减….(6分)
证明:任取x1,x2∈(1,+∞),设x1<x2
f(x1)-f(x2)=
x1
x12+1
-
x2
x22+1
=
x1x22+x1-x12x2+x2
(x12+1)(x22+1)

=
(x1-x2)(1-x1x2)
(x12+1)(x22+1)
,…(8分)
∵x1<x2
∴x1-x2<0;
∵x1>1,x2>1,
∴1-x1x2<0
∴f(x1)-f(x2)>0,
∴f(x1)>f(x2)…(10分)
函数y=f(x)在(1,+∞)单调递减…(12分)
举一反三
用4米长的合金条做一个“日”字形的窗户,要使窗户透过的光线最多,窗户的长宽之比为______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=





cosπx    (x≤0)
f(x-1)+1  (x>0)
,则f(
4
3
)+f(-
4
3
)
=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
f(x)=
1+x2
1-x2
,则f(
1
2
)+f(
1
3
)+f(-2)+f(-3)
=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
函数y=
1-x
2x+5
的值域是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=





3x    x≤1
-x    x>1
则f(f(1))=______.
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