已知二次函数f(x)=ax2+|a-1|x+a.(1)函数f(x)在(-∞,-1)上单调递增,求实数a的取值范围;(2)关于x不等式f(x)x≥2在x∈[1,2
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已知二次函数f(x)=ax2+|a-1|x+a.(1)函数f(x)在(-∞,-1)上单调递增,求实数a的取值范围;(2)关于x不等式f(x)x≥2在x∈[1,2
题型:解答题
难度:一般
来源:长宁区一模
已知二次函数f(x)=ax
2
+|a-1|x+a.
(1)函数f(x)在(-∞,-1)上单调递增,求实数a的取值范围;
(2)关于x不等式
f(x)
x
≥2在x∈[1,2]上恒成立,求实数a的取值范围;
(3)函数g(x)=f(x)+
1-(a-1)
x
2
x
在(2,3)上是增函数,求实数a的取值范围.
答案
显然a≠0(1)若a>0,f(x)的增区间为
-
|a-1|
2a
,+∞),而函数f(x)在(-∞,-1)上单调递增,不符合题意;
若a<0,则f(x)=ax
2
+(1-a)x+a,其增区间为(-∞,-
1-a
2a
).
又f(x)在(-∞,-1)上单调递增,所以有-
1-a
2a
≥-1,解得a
≤
1
3
,
故a<0,所以实数a的取值范围为:a<0.
(2)
f(x)
x
≥2即ax+
a
x
+|a-1|≥2,令g(x)=ax+
a
x
+|a-1|,
则
f(x)
x
≥2在x∈[1,2]上恒成立,等价于g
min
(x)≥2,
g′(x)=a-
a
x
2
=
a(x+1)(x-1)
x
2
,
①当a>0时,x∈[1,2],g′(x)≥0,g(x)在[1,2]上递增,
g
min
(x)=g(1)=2a+|a-1|≥2,解得a≥1;
②当a<0时,g′(x)≤0,此时g(x)在[1,2]上递减,
g
min
(x)=g(2)=2a+
a
2
+|a-1|=
3
2
a+1≥2,解得a
≥
2
3
,(舍)
综上,实数a的取值范围为a≥1.
(3)g(x)=ax
2
+
1
x
+a在(2,3)上是增函数,
设2<x
1
<x
2
<3,则g(x
1
)<g(x
2
),
a
x
1
2
+
1
x
1
+a<
a
x
2
2
+
1
x
2
+a,a(x
1
+x
2
)(x
1
-x
2
)<
x
1
-
x
2
x
1
x
2
,
因为2<x
1
<x
2
<3,所以a>
1
x
1
x
2
(
x
1
+
x
2
)
,
而
1
x
1
x
2
(
x
1
+
x
2
)
∈(
1
54
,
1
16
),
所以a
≥
1
16
.
举一反三
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题型:填空题
难度:一般
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已知函数f(x)=
-
x
2
+1 ,x<1
lo
g
2
x ,x≥1
,若f(a)=1,则a=______.
题型:填空题
难度:简单
|
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给定函数①y=x
-
1
2
,②y=2
x
2
-3x+3
,③y=log
1
2
|1-x|,④y=sin
πx
2
,其中在(0,1)上单调递减的个数为( )
A.0
B.1个
C.2个
D.3个
题型:单选题
难度:简单
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已知函数
f(x)=
tan
π
3
x,x<2010
x-2010,x>2010
,则f[f(2013)]=______.
题型:填空题
难度:一般
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函数y=log
2
(x
2
-x-2)的递增区间是______.
题型:填空题
难度:一般
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