已知定义域为R的函数f(x)=b-2x2x+a是奇函数.(1)求a,b的值;(2)用定义证明f(x)在(-∞,+∞)上为减函数;(3)若对于任意t∈R,不等式f
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已知定义域为R的函数f(x)=b-2x2x+a是奇函数.(1)求a,b的值;(2)用定义证明f(x)在(-∞,+∞)上为减函数;(3)若对于任意t∈R,不等式f
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知定义域为R的函数f(x)=
b-
2
x
2
x
+a
是奇函数.
(1)求a,b的值;
(2)用定义证明f(x)在(-∞,+∞)上为减函数;
(3)若对于任意t∈R,不等式f(t
2
-2t)+f(2t
2
-k)<0恒成立,求k的范围.
答案
(1)∵f(x)为R上的奇函数,∴f(0)=0,可得b=1
又∵f(-1)=-f(1)
∴
1-
2
-1
2
-1
+a
=-
1-
2
2
+a
,解之得a=1
经检验当a=1且b=1时,f(x)=
1-
2
x
2
x
+1
,满足f(-x)=-f(x)是奇函数. …(4分)
(2)由(1)得f(x)=
1-
2
x
2
x
+1
=-1+
2
2
x
+1
,
任取实数x
1
、x
2
,且x
1
<x
2
则f(x
1
)-f(x
2
)=
2
2
x
1
+1
-
2
2
x
2
+1
=
2(2
x
2
-
2
x
1
)
(2
x
1
+1)(
2
x
2
+1)
∵x
1
<x
2
,可得
2
x
1
<
2
x
2
,且
(2
x
1
+1)(
2
x
2
+1)>0
∴f(x
1
)-f(x
2
)>0,即f(x
1
)>f(x
2
),函数f(x)在(-∞,+∞)上为减函数; …(8分)
(3)根据(1)(2)知,函数f(x)是奇函数且在(-∞,+∞)上为减函数.
∴不等式f(t
2
-2t)+f(2t
2
-k)<0恒成立,即f(t
2
-2t)<-f(2t
2
-k)=f(-2t
2
+k)
也就是:t
2
-2t>-2t
2
+k对任意的t∈R都成立.
变量分离,得k<3t
2
-2t对任意的t∈R都成立,
∵3t
2
-2t=3(t-
1
3
)
2
-
1
3
,当t=
1
3
时有最小值为-
1
3
∴k<-
1
3
,即k的范围是(∞,-
1
3
). …(12分)
举一反三
已知函数f(x)=
3
x
+1,x≤0
lo
g
2
x,x>0
,则f(f(
1
2
))的值是______.
题型:填空题
难度:简单
|
查看答案
不等式x
2
+x+k>0恒成立,则k的取值范围是______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
(1)证明函数
f(x)=
1
x
的奇偶性.
(2)用单调性的定义证明函数
f(x)=
1
x
在(0,+∞)上是减函数.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
已知函数
f(x)=
lo
g
2
x , x>0
3
-x
+1 , x≤0
,则
f(f(1))+f(
log
3
1
2
)
的值是( )
A.5
B.3
C.-1
D.
7
2
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
下列函数中在(-∞,0)上单调递减的是( )
A.
y=
x
x-1
B.y=1-x
2
C.y=x
2
+x
D.
y=-
1-x
题型:单选题
难度:简单
|
查看答案
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