设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意a,b,当a+b≠0,都有f(a)+f(b)a+b>0(1).若a>b,试比较f(a)与f(b)的大小;(2).若f(k
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设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意a,b,当a+b≠0,都有f(a)+f(b)a+b>0(1).若a>b,试比较f(a)与f(b)的大小;(2).若f(k
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意a,b,当a+b≠0,都有
f(a)+f(b)
a+b
>0
(1).若a>b,试比较f(a)与f(b)的大小;
(2).若f(k•3
x
)+f(3
x
-9
x
-2)<0对x∈[-1,1]恒成立,求实数k的取值范围.
答案
(1)∵对任意a,b,当a+b≠0,都有
f(a)+f(b)
a+b
>0
∴
f(a)+f(-b)
a-b
>0,
∵a>b,
∴a-b>0,
∴f(a)+f(-b)>0,
∵f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(-b)=-f(b),
∴f(a)-f(b)>0,
∴f(a)>f(b)
(2)由(1)知f(x)在R上是单调递增函数,
又f(k•3
x
)+f(3
x
-9
x
-2)<0,
得f(k•3
x
)<-f(3
x
-9
x
-2)=f(9
x
-3
x
+2),
故k•3
x
<9
x
-3
x
+2,
∴k<
3
x
+
2
3
x
-1
,
令t=3
x
,
∵x∈[-1,1]恒成立,
∴t=
3
x
∈[
1
3
,3]
,
∴k<t+
2
t
-1
,
而t+
2
t
≥2
2
,
当且仅当t=
2
t
,t=
2
时,取等号,
即k<2
2
-1.
举一反三
已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数m,n都有
f(m+n)=f(m)+f(n)+
1
2
,且
f(
1
2
)=0
,当
x>
1
2
时,f(x)>0.
(1)求f(1);
(2)求和f(1)+f(2)+…+f(n)(n∈N*);
(3)判断函数f(x)的单调性并证明.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数f(x)是定义在R上的增函数,设F(x)=f(x)-f(a-x).
(1)用函数单调性的定义证明:F(x)是R上的增函数;
(2)证明:函数y=F(x)的图象关于点(
a
2
,0)成中心对称图形.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数f (x)=
x
2
+ax,x≤1
a
x
2
+x,x>1
在R上单调递减,则实数a的取值范围是( )
A.a>-2
B.-2<a<-1
C.a≤-2
D.a≤-
1
2
题型:单选题
难度:一般
|
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已知函数y=2
x
-a
x
(a≠2)是奇函数,则函数y=log
a
x是( )
A.增函数
B.减函数
C.常数函数
D.增函数或减函数
题型:单选题
难度:一般
|
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设
g(x)=
e
x
(x≤0)
lnx(x>0)
,则g(g(0))=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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