已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数m,n都有f(m+n)=f(m)+f(n)+12,且f(12)=0,当x>12时,f(x)>0.(1)求f(1);(2)

已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数m,n都有f(m+n)=f(m)+f(n)+12,且f(12)=0,当x>12时,f(x)>0.(1)求f(1);(2)

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数m,n都有f(m+n)=f(m)+f(n)+
1
2
,且f(
1
2
)=0
,当x>
1
2
时,f(x)>0.
(1)求f(1);
(2)求和f(1)+f(2)+…+f(n)(n∈N*);
(3)判断函数f(x)的单调性并证明.
答案
(1)f(1)=f(
1
2
)+f(
1
2
)+
1
2
=0+0+
1
2
=
1
2
,(2分)
(2)∵f(2)=f(1)+f(1)+
1
2
=3×
1
2

f(3)=f(2)+f(1)=5×
1
2
,…
f(n)=(2n-1)×
1
2

∴f(1)+f(2)+…+f(n)=
1
2
(1+3+5+…(2n-1))=
1
2
n2(7分)
(3)f(x)=( 2x-1)×
1
2
=x-
1
2
,在其定义域内是增函数,
证明:设  a<b,f(b)-f(a)=(b-
1
2
)-(a-
1
2
)=b-a,由题设知,b-a>0,
∴f(b)-f(a)>0,f(b),>f(a),∴f(x)在其定义域内是增函数.
举一反三
已知函数f(x)是定义在R上的增函数,设F(x)=f(x)-f(a-x).
(1)用函数单调性的定义证明:F(x)是R上的增函数;
(2)证明:函数y=F(x)的图象关于点(
a
2
,0)成中心对称图形.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f (x)=





x2+ax,x≤1
ax2+x,x>1
在R上单调递减,则实数a的取值范围是(  )
A.a>-2B.-2<a<-1C.a≤-2D.a≤-
1
2
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知函数y=2x-ax(a≠2)是奇函数,则函数y=logax是(  )
A.增函数B.减函数
C.常数函数D.增函数或减函数
题型:单选题难度:一般| 查看答案
g(x)=





ex(x≤0)
lnx(x>0)
,则g(g(0))=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
己知函数f(x)的定义域关于原点对称,且满足以下三条件:
①当x1,x2是定义域中的数时,有f(x1-x2)=
f(x1)•f(x2)+1
f(x2)-f(x1)

②f(a)=-1(a>0,a是定义域中的一个数);
③当0<x<2a时,f(x)<0.
(1)试证明函数f(x)是奇函数.
(2)试证明f(x)在(0,4a)上是增函数.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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