已知函数f(x)=ax2+1x.(1)求f(x)的单调区间;(2)若a>0,x1+x2>0,x2+x3>0,x3+x1>0,|xi|>1a(i=1,2,3).求

已知函数f(x)=ax2+1x.(1)求f(x)的单调区间;(2)若a>0,x1+x2>0,x2+x3>0,x3+x1>0,|xi|>1a(i=1,2,3).求

题型:解答题难度:一般来源:眉山一模
已知函数f(x)=
ax2+1
x

(1)求f(x)的单调区间;
(2)若a>0,x1+x2>0,x2+x3>0,x3+x1>0,|xi|>
1


a
(i=1,2,3).求证:f(x1)+f(x2)+f(x3)>2


a
答案
整理得:f(x)=ax+
1
x

(1)当a≤0时,f(x)的减区间为(-∞,0)和(0,+∞);
当a>0时,f(x)的减区间为(-
1


a
,0)和(0,
1


a
),增区间为(-∞,-
1


a
)和(
1


a
,+∞)…(5分)
(2)由条件知:x1,x2,x3中至多一个负数.   …(6分)
(ⅰ)若x1,x2,x3都为正数,由(1)可知|xi|>
1


a
时,f(|xi|)>f(
1


a
)=2


a
 (i=1,2,3)
∴f(x1)+f(x2)+f(x3)>6


a
>2


a
 …(9分)
(ⅱ)若x1,x2,x3中有一负数,不妨设x3<0.
∵x2+x3>0且|x3|>
1


a

∴x2>-x3
1


a

∴f(x2)>f(-x3)=-f(x3)(∵f(x)为奇函数)
∴f(x2)+f(x3)>0
∴f(x1)+f(x2)+f(x3)>f(x1)>f(
1


a
)=2


a
  …(11分)
综上,f(x1)+f(x2)+f(x3)>2


a
.…(12分)
举一反三
设定义域为R的函数f(x)=
2x+1
a+4x
为偶函数,其中a为实常数.
(1)求a的值,指出并证明该函数的其它基本性质;
(2)请你选定一个区间D,求该函数在区间D上的反函数f-1(x).
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设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意a,b,当a+b≠0,都有
f(a)+f(b)
a+b
>0
(1).若a>b,试比较f(a)与f(b)的大小;
(2).若f(k•3x)+f(3x-9x-2)<0对x∈[-1,1]恒成立,求实数k的取值范围.
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已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数m,n都有f(m+n)=f(m)+f(n)+
1
2
,且f(
1
2
)=0
,当x>
1
2
时,f(x)>0.
(1)求f(1);
(2)求和f(1)+f(2)+…+f(n)(n∈N*);
(3)判断函数f(x)的单调性并证明.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)是定义在R上的增函数,设F(x)=f(x)-f(a-x).
(1)用函数单调性的定义证明:F(x)是R上的增函数;
(2)证明:函数y=F(x)的图象关于点(
a
2
,0)成中心对称图形.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f (x)=





x2+ax,x≤1
ax2+x,x>1
在R上单调递减,则实数a的取值范围是(  )
A.a>-2B.-2<a<-1C.a≤-2D.a≤-
1
2
题型:单选题难度:一般| 查看答案
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