(1)因为f(x)=为R上的偶函数, 所以对于任意的x∈R,都有=, 也就是2-x+1•(a+4x)=2x+1•(a+4-x), 即(a-1)(4x+1)=0对x∈R恒成立, 所以,a=1. 所以f(x)=. 由f(x1)-f(x2)=-=2(2x2-2x1)(2x1+x2-1) | (1+4x1)(1+4x2) |
设x1<x2<0,则(1+4x1)(1+4x2)>0,2x2-2x1>0,2x1+x2-1<0, 所以,对任意的x1,x2∈(-∞,0),有2(2x2-2x1)(2x1+x2-1) | (1+4x1)(1+4x2) | <0 即f(x1)-f(x2)<0,f(x1)<f(x2). 故,f(x)在(-∞,0)上是单调递增函数. 又对任意的x1,x2∈(0,+∞),在x1<x2时,(1+4x1)(1+4x2)>0, 2x2-2x1>0,2x1+x2-1>0. 所以2(2x2-2x1)(2x1+x2-1) | (1+4x1)(1+4x2) | >0. 则f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2). 故f(x)在(0,+∞)上是单调递减函数. 对于任意的x∈R,f(x)==≤1, 故当x=0时,f(x)取得最大值1. 因为2x+1>0,所以方程f(x)==0无解,故函数f(x)=无零点. (2)选定D=(0,+∞), 由y=,得:y(2x)2-2×2x+y=0 所以2x=,x=log2 (0<y≤1) 所以f-1(x)=log2,x∈(0,1]. |