设定义域为R的函数f(x)=2x+1a+4x为偶函数,其中a为实常数.(1)求a的值,指出并证明该函数的其它基本性质;(2)请你选定一个区间D,求该函数在区间D

设定义域为R的函数f(x)=2x+1a+4x为偶函数,其中a为实常数.(1)求a的值,指出并证明该函数的其它基本性质;(2)请你选定一个区间D,求该函数在区间D

题型:解答题难度:一般来源:闸北区二模
设定义域为R的函数f(x)=
2x+1
a+4x
为偶函数,其中a为实常数.
(1)求a的值,指出并证明该函数的其它基本性质;
(2)请你选定一个区间D,求该函数在区间D上的反函数f-1(x).
答案
(1)因为f(x)=
2x+1
a+4x
为R上的偶函数,
所以对于任意的x∈R,都有
2-x+1
a+4-x
=
2x+1
a+4x

也就是2-x+1•(a+4x)=2x+1•(a+4-x),
即(a-1)(4x+1)=0对x∈R恒成立,
所以,a=1.
所以f(x)=
2x+1
1+4x

f(x1)-f(x2)=
2x1+1
1+4x1
-
2x2+1
1+4x2
=
2(2x2-2x1)(2x1+x2-1)
(1+4x1)(1+4x2)

设x1<x2<0,则(1+4x1)(1+4x2)>02x2-2x1>02x1+x2-1<0
所以,对任意的x1,x2∈(-∞,0),有
2(2x2-2x1)(2x1+x2-1)
(1+4x1)(1+4x2)
<0

即f(x1)-f(x2)<0,f(x1)<f(x2).
故,f(x)在(-∞,0)上是单调递增函数.
又对任意的x1,x2∈(0,+∞),在x1<x2时,(1+4x1)(1+4x2)>0
2x2-2x1>02x1+x2-1>0
所以
2(2x2-2x1)(2x1+x2-1)
(1+4x1)(1+4x2)
>0

则f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).
故f(x)在(0,+∞)上是单调递减函数.
对于任意的x∈R,f(x)=
2x+1
1+4x
=
2
2x+2-x
≤1

故当x=0时,f(x)取得最大值1.
因为2x+1>0,所以方程f(x)=
2x+1
1+4x
=0
无解,故函数f(x)=
2x+1
1+4x
无零点.
(2)选定D=(0,+∞),
y=
2x+1
1+4x
,得:y(2x2-2×2x+y=0
所以2x=
1+


1-y2
y
x=log2
1+


1-y2
y
 (0<y≤1)
所以f-1(x)=log2
1+


1-x2
x
,x∈(0,1].
举一反三
设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意a,b,当a+b≠0,都有
f(a)+f(b)
a+b
>0
(1).若a>b,试比较f(a)与f(b)的大小;
(2).若f(k•3x)+f(3x-9x-2)<0对x∈[-1,1]恒成立,求实数k的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数m,n都有f(m+n)=f(m)+f(n)+
1
2
,且f(
1
2
)=0
,当x>
1
2
时,f(x)>0.
(1)求f(1);
(2)求和f(1)+f(2)+…+f(n)(n∈N*);
(3)判断函数f(x)的单调性并证明.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)是定义在R上的增函数,设F(x)=f(x)-f(a-x).
(1)用函数单调性的定义证明:F(x)是R上的增函数;
(2)证明:函数y=F(x)的图象关于点(
a
2
,0)成中心对称图形.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f (x)=





x2+ax,x≤1
ax2+x,x>1
在R上单调递减,则实数a的取值范围是(  )
A.a>-2B.-2<a<-1C.a≤-2D.a≤-
1
2
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知函数y=2x-ax(a≠2)是奇函数,则函数y=logax是(  )
A.增函数B.减函数
C.常数函数D.增函数或减函数
题型:单选题难度:一般| 查看答案
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