已知函数f(x)=3xa+3(a-1)x,a≠0且a≠1.(1)试就实数a的不同取值,写出该函数的单调增区间;(2)已知当x>0时,函数在(0,6)上单调递减,
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已知函数f(x)=3xa+3(a-1)x,a≠0且a≠1.(1)试就实数a的不同取值,写出该函数的单调增区间;(2)已知当x>0时,函数在(0,6)上单调递减,
题型:解答题
难度:一般
来源:卢湾区二模
已知函数f(x)=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
,a≠0且a≠1.
(1)试就实数a的不同取值,写出该函数的单调增区间;
(2)已知当x>0时,函数在(0,
6
)上单调递减,在(
6
,+∞)上单调递增,求a的值并写出函数的解析式;
(3)记(2)中的函数图象为曲线C,试问是否存在经过原点的直线l,使得l为曲线C的对称轴?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
答案
(1)①当a<0时,函数f(x)的单调增区间为(
-
a(a-1)
,0),(0,
a(a-1)
);
②当0<a<1时,函数f(x)的单调增区间为(-∞,0),(0,+∞);
③当a>1时,函数f(x)的单调增区间为(-∞,
-
a(a-1)
),(
a(a-1)
,+∞).
(2)由题设及(1)中③知
a(a-1)
=
6
,且a>1,解得a=3,因此函数解析式为f(x)=
3
x
3
+
2
3
x
( x≠0).
(3)假设存在经过原点的直线l为曲线C的对称轴,显然x,y轴不是曲线C的对称轴,故可设l:y=kx(k≠0).
设P(p,q)为曲线C上的任意一点,P′(p′,q′)与P(p,q)关于直线l对称,且p≠p′,q≠q′,
则P′也在曲线C上,由此得
q+
q
/
2
=
k•
p+
p
/
2
,
q-
q
/
p-
p
/
=
-
1
k
,
且q=
p
3
+
2
3
p
,q′=
p
/
3
+
2
3
p
/
,整理得k
-
1
k
=
2
3
,解得k=
3
或k=
-
3
3
.
所以存在经过原点的直线y=
3
x
及y=
-
3
3
x
为曲线C的对称轴.
举一反三
设定义在R上的函数f(x)满足f(x)•f(x+2)=3,若f(1)=2,则f(2009)=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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定义在R上的函数f(x)的图象关于点
(-
3
4
, 0)
成中心对称,对任意的实数x都有
f(x)=-f(x+
3
2
)
,且f(-1)=1,f(0)=-2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2008)+…+f(2008)的值为( )
A.-2
B.-1
C.0
D.1
题型:单选题
难度:简单
|
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当x>1时,不等式
a≤x+
1
x-1
恒成立,则实数a的取值范围是______.
题型:填空题
难度:一般
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函数f(x)=ln(x-x
2
)的单调递增区间为( )
A.(0,1)
B.
(-∞,
1
2
]
C.
[
1
2
,1)
D.
(0,
1
2
]
题型:单选题
难度:简单
|
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已知函数
f(x)=lg
1-x
1+x
+sinx+1
.若f(m)=4,则f(-m)=______.
题型:填空题
难度:简单
|
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