（文）已知函数f（x）=2x-1的反函数为f-1（x），g（x）=log4（3x+1）（1）f-1（x）；（2）用定义证明f-1（x）在定义域上的单调性；（3）

题型：解答题难度：一般来源：不详

（文）已知函数f（x）=2^x-1的反函数为f^-1（x），g（x）=log₄（3x+1）
（1）f^-1（x）；
（2）用定义证明f^-1（x）在定义域上的单调性；
（3）若f^-1（x）≤g（x），求x的取值范围．

答案

（1）函数f（x）的值域为（-1，+∞），
由y=2^x-1得x=log₂（y+1），
所以f^-1（x）=log₂（x+1）（x＞-1）（4分）
（2）证明：任取-1＜x₁＜x₂，
f^-1（x₁）-f^-1（x₂）=log₂（x₁+1）-log₂（x₂+1）=log₂

x1+1

x2+1

由-1＜x₁＜x₂得0＜x₁+1＜x₂+1，因此
0＜

x1+1

x2+1

＜1得log₂

x1+1

x2+1

＜0
所以f^-1（x₁）＜f^-1（x₂）
故f^-1（x）在（-1，+∞）上为单凋增函数．（9分）
（3）f^-1（x）≤g（x）即
log₂（x+1）≤log₄（3x+1）⇔

x+1＞0 3x+1＞0 (x+1)2≤3x+1

⇔

x+1＞0 (x+1)2≤3x+1

（11分）
解之得0≤x≤1，所以x的取值范围是[0，2]（13分）