已知函数f(x)=ax+x-2x+1(a>1)(1)证明:函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数;(2)用反证法证明f(x)=0没有负数根.
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已知函数f(x)=ax+x-2x+1(a>1)(1)证明:函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数;(2)用反证法证明f(x)=0没有负数根.
题型:解答题
难度:一般
来源:上海
已知函数f(x)=a
x
+
x-2
x+1
(a>1)
(1)证明:函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数;
(2)用反证法证明f(x)=0没有负数根.
答案
(1)由于函数f(x)=a
x
+
x-2
x+1
(a>1)=a
x
+1-
3
x+1
,
而函数 y=a
x
(a>1)和函数y=-
3
x+1
在(-1,+∞)上都为增函数,
故函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.
(2)假设f(x)=0有负数根为x=x
0
,且x
0
<0,则有f(x
0
)=0,故有
a
x
0
+1=
3
x
0
+1
①.
由于函数y=a
x
+1在R上式增函数,且a
0
+1=2,∴
a
x
0
+1<2.
由于函数y=
3
x+1
在(-1,+∞)上是减函数,当x
0
∈(-1,0)时,
3
0+1
=3,∴
3
x
0
+1
>3,
∴①根本不可能成立,故①矛盾.
由于由于函数y=
3
x+1
在(-∞,-1)上是增函数,当x
0
∈(-∞,-1)时,
3
x
0
+1
<0,
而,
a
x
0
+1>1,∴①根本不可能成立,故①矛盾.
综上可得,①根本不可能成立,故假设不成立,故f(x)=0没有负数根.
举一反三
已知函数
y=x+
a
x
有如下性质:如果常数a>0,那么该函数在
(0,
a
]
上是减函数,在
[
a
,+∞)
上是增函数.
(1)如果函数
y=x+
2
b
x
(x>0)
在(0,4]上是减函数,在[4,+∞)上是增函数,求b的值.
(2)设常数c∈[1,4],求函数
f(x)=x+
c
x
(1≤x≤2)
的最大值和最小值;
(3)当n是正整数时,研究函数
g(x)=
x
n
+
c
x
n
(c>0)
的单调性,并说明理由.
题型:解答题
难度:一般
|
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若
f(
1
2
+x)+f(
1
2
-x)=2
对任意的正实数x成立,则
f(
1
2010
)+f(
2
2010
)+f(
3
2010
)
+…
+f(
2009
2010
)
=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知
f(x)=
p
x
2
+2
3x+q
是奇函数,且
f(2)=
5
3
,
(1)求实数p和q的值.
(2)求f(x)的单调区间.
题型:解答题
难度:一般
|
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如果函数f(x)在区间D上有定义,且对任意x
1
,x
2
∈D,x
1
≠x
2
,都有
f(
x
1
+
x
2
2
)<
f(
x
1
)+f(
x
2
)
2
,则称函数f(x)在区间D上的“凹函数”.
(Ⅰ)已知f(x)=ln(1+e
x
)-x(x∈R),判断f(x)是否是“凹函数”,若是,请给出证明;若不是,请说明理由;
(Ⅱ)已知f(x)=ln(1+e
x
)-x是定义域在R上的减函数,且A、B、C是其图象上三个不同的点,求证:△ABC是钝角三角形.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知定义在(0,+∞)上的函数f(x),对一切x、y>0,恒有f(x+y)=f(x)+f(y)成立,且x>0时,f(x)<0.
(1)求证:f(x)在(0,+∞)上是减函数.
(2)
f(2)=-
1
2
时,解不等式f(ax+4)>-1.
题型:解答题
难度:一般
|
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