(I)由已知,得2f(x+2)=f(x), ∴f(x)=2f(x+2)=4f(x+4)(4分) ∵x∈(0,2)时,f(x)=lnx+ax, 设x∈(-4,-2),则x+4∈(0,2), ∴f(x+4)=ln(x+4)+a(x+4), ∴x∈(-4,-2)时,f(x)=4f(x+4)=4ln(x+4)+4a(x+4), 所以f′(x)=+4a>0, ∵x∈(-4,-2), ∴-4ax<4+16a, ∵a<-, ∴f(x)max=f(--4)=4ln(-)+4a•(-)=-4. 又由a<-,可得-4<--4<-2, ∴f(x)在(-4,--4)上是增函数,在(--4,-2)上是减函数, ∴f(x)max=f(--4)=4ln(-)+4a•(-)=-4. ∴a=-1(7分)
(II)设f(x)的值域为A,g(x)的值域为B, 则由已知,对于任意的x1∈(1,2),总存在x2∈(1,2),使f(x1)-g(x2)=0得,A⊆B.(9分) 由(I)a=-1,当x∈(1,2)时,f(x)=lnx-x,f′(x)=-1=, ∵x∈(1,2), ∴f′(x)<0,f(x)在x∈(1,2)上单调递减函数, ∴f(x)的值域为A=(ln2-2,-1)(10分) ∵g"(x)=bx2-b=b(x-1)(x+1), ∴(1)当b<0时,g(x)在(1,2)上是减函数, 此时,g(x)的值域为B=(b,-b), 为满足A⊆B,又-b≥0>-1. ∴b≤ln2-2.即b≤ln2-3.(11分) (2)当b>0时,g(x)在(1,2)上是单调递增函数, 此时,g(x)的值域为B=(-b,b),为满足A⊆B, 又,∴-b≤ln2-2, ∴b≥-(ln2-2)=3-ln2, 综上可知b的取值范围是(-∞,ln2-3]∪[3-ln2,+∞)(12分) |