已知f(x)=x+ax2+bx+1是奇函数，且x∈[-1，1]，试判断其单调性，并证明你的结论．

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知f(x)=

x+a

x2+bx+1

是奇函数，且x∈[-1，1]，试判断其单调性，并证明你的结论．

答案

因为函数f(x)=

x+a

x2+bx+1

是奇函数，且定义域为[-1，1]，
所以

f(0)=a=0 f(-1)= -1 2-b =-f(1)=- 1 2+b

，解得

a=0 b=0

，
所以f(x)=

x

x2+1

，
f（x）在x∈[-1，1]上是增函数，下面证明：
设x₁，x₂是定义域内的任意两实数，且x₁＜x₂，
所以f(x1)-f(x2)=

x1

x12+1

-

x2

x22+1

=

(x1-x2)(1-x1x2)

(x12+1)(x22+1)

，
因为-1≤x1＜x2≤1，所以x₁-x₂＜0，1-x₁•x₂＞0，x12+1＞0，x22+1＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以函数f（x）在[-1，1]上是增函数．