已知函数f（x）=-x3+3x．（1）判断f（x）的奇偶性，证明你的结论；（2）当a在何范围内取值时，关于x的方程f（x）=a在x∈（-1，1]上有解？

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=-x³+3x．
（1）判断f（x）的奇偶性，证明你的结论；
（2）当a在何范围内取值时，关于x的方程f（x）=a在x∈（-1，1]上有解？

答案

（1）证明：显然f（x）的定义域是R．设x∈R，
∵f（-x）=-（-x）³+3（-x）=-（-x³+3x）=-f（x），
∴函数f（x）是奇函数．
（2）设-1＜x₁＜x₂≤1，则f（x₁）-f（x₂）=（-x₁³+3x₁）-（-x₂³+3x₂）=（x₁-x₂）[3-（x₁²+x₁x₂+x₂²）]
∵x₁＜x₂，3-（x₁²+x₁x₂+x₂²）＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x）在（-1，1]上是增函数．
∴函数f（x）=-x³+3x的值域是（-2，2]．
∴当a在（-2，2]内取值时，关于x的方程f（x）=a在x∈（-1，1]上有解．