函数y=f(x)满足f(3+x)=f(1-x),且x1,x2∈(2,+∞)时,f(x1)-f(x2)x1-x2>0成立,若f(cos2θ+2m2+2)<f(si

函数y=f(x)满足f(3+x)=f(1-x),且x1,x2∈(2,+∞)时,f(x1)-f(x2)x1-x2>0成立,若f(cos2θ+2m2+2)<f(si

题型:解答题难度:一般来源:不详
函数y=f(x)满足f(3+x)=f(1-x),且x1,x2∈(2,+∞)时,
f(x1)-f(x2)
x1-x2
>0成立,若f(cos2θ+2m2+2)<f(sinθ+m2-3m-2)对θ∈R恒成立.
(1)判断y=f(x)的单调性和对称性;
(2)求m的取值范围.
答案
(1)由f (3+x)=f (1-x),可得f (2+x)=f(2-x),
∴y=f (x)的对称轴为x=2.…(2分)
当2<x1<x2时,f (x1)<f (x2);  当2<x2<x1时,f (x2)<f (x1).
∴y=f (x)在(2,+∝)上为增函数,在(-∞,2)上为减函数.…(4分)
(2)由f(cos2θ+2m2+2)<f(sinθ+m2-3m-2),可得|cos2θ+2m2|<|sinθ+m2-3m-4|,
即m2-3m-4+sinθ>cos2θ+2m2(i),或m2-3m-4+sinθ<-cos2θ-2m2(ii)恒成立.…(7分)
由(i)得m2+3m+4<-cos2θ+sinθ=(sinθ+
1
2
2-
5
4
恒成立,∴m2+3m+4<-
5
4

故 4m2+12m+21<0恒成立,m无解.…(10分)
由(ii) 得3m2-3m-4<-cos2θ-sinθ=(sinθ-
1
2
2-
5
4
恒成立,可得3m2-3m-4<-
5
4

即 12m2-12m-11<0,解得
3-


42
6
<m<
3+


42
6
.…(13分)
举一反三
已知f(3x)=4xlog23+
467
2
,则f(2)+f(4)+f(8)+…+f(28)的值等于______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=





x2+x-a(x≥a)
x2-x+a(x<a)

(1)当a=0时,判断函数的奇偶性,并加以证明;
(2)当0<a<1,求函数h(x)=f(x)-x的零点;
(3)当0<a<1时,探讨函数y=f(x)的单调性.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=ax2-|x|+2a-1(a为实常数).
(1)若a=1,求f(x)的单调区间;
(2)若a>0,设f(x)在区间[1,2]的最小值为g(a),求g(a)的表达式.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
函数f(x)=
2
x-1
(2≤x≤6)
的最大值是(  )
A.1B.2C.
1
5
D.
2
5
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=-x-x3,实数α、β、γ满足α+β>0,β+γ>0,γ+α>0,则f(α)+f(β)+f(γ)的值(  )
A.恒为正数B.恒为负数
C.恒等于零D.可能为正,也可能为负
题型:单选题难度:一般| 查看答案
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