函数f(x)(x∈R+)满足下列条件:①f(a)=1(a>1)②f(xm)=mf(x).(1)求证:f(xy)=f(x)+f(y);(2)证明:f(x)在(0,
题型:解答题难度:一般来源:不详
函数f(x)(x∈R+)满足下列条件:①f(a)=1(a>1)②f(xm)=mf(x). (1)求证:f(xy)=f(x)+f(y); (2)证明:f(x)在(0,+∞)上单调递增; (3)若不等式f(x)+f(3-x)≤2恒成立,求实数a的取值范围. |
答案
(1)证明:令x=am,y=an,则f(xy)=f(aman)=f(am+n)=(m+n)f(a)=m+n, 同理,f(x)+f(y)=m+n,∴得证 (2)证明:任设x1,x2∈R+,x1>x2,可令,x1=x2t(t>1),t=aα(α>0) 则f(x1)-f(x2)=f(x2t)-f(x2)=f(x2)+f(t)-f(x2)=f(t)=f(aα)=αf(a)=α>0 即f(x1)>f(x2)∴f(x)在正实数集上单调递增 (3)f(x)+f(3-x)≤2可化成,f(x)+f(3-x)≤2f(a) 即f(x)+f(3-x)≤f(a2), 即,即,而当0<x<3时,[x(3-x)]max= 依题意,有a2≥,又a>1∴a≥. |
举一反三
定义在[-2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上是减函数,且f(1-m)<f(m),则m∈______. |
已知f(x)=ax+a-x(a>0且a≠1), (1)证明函数f ( x )的图象关于y轴对称; (2)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并用定义加以证明; (3)当x∈[1,2]时函数f (x )的最大值为,求此时a的值. |
设函数f(x)=a-. (1)判断函数f(x)的单调性,并用定义证明你的结论; (2)是否存在实数a使函数f(x)为奇函数,写出理由. |
已知f(x)是定义在{x|x>0}上的增函数,且f()=f(x)-f(y). (1)求f(1)的值; (2)若f(6)=1,解不等式f(38x-108)+f()<2. |
已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数. (1)求a的值; (2)试判断f(x)的单调性,并用定义证明; (3)若对任意的t∈[-2,2],不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范围. |
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