已知f(x)=ax+a-x(a>0且a≠1),(1)证明函数f ( x )的图象关于y轴对称;(2)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并用定义加以证明;(3
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已知f(x)=ax+a-x(a>0且a≠1),(1)证明函数f ( x )的图象关于y轴对称;(2)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并用定义加以证明;(3
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知f(x)=a
x
+a
-x
(a>0且a≠1),
(1)证明函数f ( x )的图象关于y轴对称;
(2)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并用定义加以证明;
(3)当x∈[1,2]时函数f (x )的最大值为
10
3
,求此时a的值.
答案
(1)f(-x)=a
-x
+a
x
=f(x),故函数是偶函数,所以函数f ( x )的图象关于y轴对称;
(2)单调递增,证明如下
设x
1
<x
2
,x∈(0,+∞),则
f
(x
1
)-f
(x
2
)=
a
x
1
+
a
-
x
1
-
a
x
2
-
a
-
x
2
=
(
a
x
1
-
a
x
2
) (1-
1
a
x
1
a
x
2
)
<0,从而f(x)在(0,+∞)上单调递增;
(3)由(2)知
a
2
+
a
-2
=
10
3
,解得
a=
3
3
或
a=
3
举一反三
设函数
f(x)=a-
1
2
x
+1
.
(1)判断函数f(x)的单调性,并用定义证明你的结论;
(2)是否存在实数a使函数f(x)为奇函数,写出理由.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知f(x)是定义在{x|x>0}上的增函数,且
f(
x
y
)=f(x)-f(y)
.
(1)求f(1)的值;
(2)若f(6)=1,解不等式
f(38x-108)+f(
1
x
)<2
.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知定义域为R的函数
f(x)=
a•
2
x
-1
2
x
+1
是奇函数.
(1)求a的值;
(2)试判断f(x)的单调性,并用定义证明;
(3)若对任意的t∈[-2,2],不等式f(t
2
-2t)+f(2t
2
-k)<0恒成立,求k的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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函数
y=(
1
2
)
x
2
-4x+5
的单调增区间为______.
题型:填空题
难度:一般
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设函数f(x)为定义在R上的偶函数,且在[0,+∞)为增函数,则不等式f(x)>f(1)的解集是______.
题型:填空题
难度:一般
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