(I)令x=y=0,有f(0)=0,令x1=x,x2=-x, 有f(-x)+f(x)=f(x-x)=f(0)=0, 即f(-x)=-f(x),故f(x)为奇函数.(2分) 在R上任取x1<x2,则x1-x2<0, 由题意知f(x1-x2)<0, 则f(x1-x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1)-f(x2)<0, 故f(x)是增函数(6分) (II)要使f[sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-]+f(3+2m)>0, 只须f[sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-]>-f(3+2m)=f(-3-2m) 又由f(x)为单调增函数有sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)->-3-2m(8分) 令t=sinθ+cosθ,则sin2θ=t2-1,∵θ∈[0,],∴t=sin(θ+)∈[1,], 原命题等价于t2-1-(m+2)t-+3+2m>0对t∈[1,]恒成立.(10分)
| ∴(2-t)m>2t-t2+-2, | 即m>=t+ | 令g(t)=t+,则g′(t)=1-, |
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当t∈[1,]时,g′(t)<0, 故g(t)在[1,]上为减函数,∴m>3时,原命题成立.(12分) |