知函数f(x)的图象与函数h(x)=x+1x+2的图象关于点A(0,1)对称.(1)求函数f(x)的解析式,并写出定义域、值域.(2)若g(x)=f(x)+ax

知函数f(x)的图象与函数h(x)=x+1x+2的图象关于点A(0,1)对称.(1)求函数f(x)的解析式,并写出定义域、值域.(2)若g(x)=f(x)+ax

题型:解答题难度:一般来源:不详
知函数f(x)的图象与函数h(x)=x+
1
x
+2
的图象关于点A(0,1)对称.
(1)求函数f(x)的解析式,并写出定义域、值域.
(2)若g(x)=f(x)+
a
x
,且g(x)在区间(0,2]上的值不小于6,求实数a的取值范围.
答案
(1)设f(x)图象上任一点坐标为(x,y),
点(x,y)关于点A(0,1)的对称点(-x,2-y)在h(x)的图象上(3分)
2-y=-x+
1
-x
+2

y=x+
1
x
,即f(x)=x+
1
x
(6分)
f(x)的定义域为:{x|x≠0),值域为:{x|x≤0或x≥4}
(2)由题意  g(x)=x+
a+1
x
,且g(x)=x+
a+1
x
≥6

∵x∈(0,2]
∴a+1≥x(6-x),即a≥-x2+6x-1,(9分)
令q(x)=-x2+6x-1,x∈(0,2],q(x)=-x2+6x-1=-(x-3)2+8,
∴x∈(0,2]时,q(x)max=7(11分)
∴a≥7(13分)
方法二:q′(x)=-2x+6,x∈(0,2]时,q′(x)>0
即q(x)在(0,2]上递增,
∴x∈(0,2]时,q(x)max=7
即  a≥x2-1在x∈(0,2]时恒成立.
∵x∈(0,2]时,(x2-1)max=3
∴a≥3
∴a≥7
举一反三
函数f(x)的定义域为[0,1],且满足以下三个条件:①f(0)=0;②f(
x
3
)=
1
2
f(x)
;③f(1-x)=1-f(x),则f(
1
6
)+f(
1
9
)
=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
函数f(x)=
ax+2b
1+x2
是定义在(-1,1)上的奇函数,且f(1)=
1
2

(1)求函数f(x)的解析式;
(2)讨论函数f(x)的单调性;
(3)解不等式f(2-t)+f(
t
5
)<0
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=
1
a
-
1
x
(a≠0,x≠0).
(1)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数;
(2)设F(x)=f(x)-a,且F(x)为奇函数,求a的值;
(3)若关于t(t≠0)的方程f(
1
t2
)=t4+1
有实数解,求a的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
设f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=3x-2x+c(c为常数),则f(-1)=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知函数y=f(x)满足:①y=f(x+1)是偶函数;②在[1,+∞)上为增函数.若x1<0,x2>0,且x1+x2<-2,则f(-x1)与f(-x2)的大小关系是(  )
A.f(-x1)>f(-x2
B.f(-x1)<f(-x2
C.f(-x1)=f(-x2
D.f(-x1)与f(-x2)的大小关系不能确定
题型:单选题难度:简单| 查看答案
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