已知函数f(x)=lg1-x1+x.(1)求函数f(x)的定义域和值域;(2)判断函数f(x)的奇偶性,并指出函数f(x)的单调性(单调性不需证明).
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已知函数f(x)=lg1-x1+x.(1)求函数f(x)的定义域和值域;(2)判断函数f(x)的奇偶性,并指出函数f(x)的单调性(单调性不需证明).
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数
f(x)=lg
1-x
1+x
.
(1)求函数f(x)的定义域和值域;
(2)判断函数f(x)的奇偶性,并指出函数f(x)的单调性(单调性不需证明).
答案
(1)由题意得
1-x
1+x
>0
解得-1<x<1
∴函数f(x)的定义域为{x|-1<x<1}
∵
1-x
1+x
=
-x-1+2
1+x
=
2
1+x
-1
又-1<x<1
∴0<x+1<2,
2
1+x
>1
,
2
1+x
-1>0
,
∴
lg(
2
1+x
-1)∈R
∴函数f(x)的值域为R
(2)对∀x∈{x|-1<x<1}都有
f(-x)=lg
1+x
1-x
=-lg
1-x
1+x
=-f(x)
∴f(x)为奇函数
∵令t=
1-x
1+x
=
-x-1+2
1+x
=
2
1+x
-1
在(-1,1)递减
∵y=lgt在定义域上为增函数
∴
f(x)=lg
1-x
1+x
在(-1,1)递减
举一反三
(1)判断函数
f(x)=
x
2
+
1
x
在(1,+∞)上的单调性,并用定义法加以证明;
(2)若函数
f(x)=
x
2
+
a
x
在区间(1,+∞)上的单调递增,求实数a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知f(x+1)=-f(x)且
f(x)=
1,(-1<x<0)
0,(0≤x<1)
,则f(3)=( )
A.-1
B.0
C.1
D.1或0
题型:单选题
难度:简单
|
查看答案
设函数y=f(x)的定义域为(0,+∞),且对任意的正实数x,y,均有f(xy)=f(x)+f(y)恒成立.已知f(2)=1,且当x>1时,f(x)>0.
(1)求
f(
1
2
)
的值,试判断y=f(x)在(0,+∞)上的单调性,并加以证明;
(2)一个各项均为正数的数列{a
n
},它的前n项和是S
n
,若a
1
=3,且f(S
n
)=f(a
n
)+f(a
n
+1)-1(n≥2,n∈N
*
),求数列{a
n
}的通项公式;
(3)在(2)的条件下,是否存在实数M,使
2
n
•
a
1
•
a
2
…
a
n
≥M•
2n+3
•(2
a
1
-1)•(2
a
2
-1)…(2
a
n
-1)
对于一切正整数n均成立?若存在,求出M的范围;若不存在,请说明理由.
题型:解答题
难度:一般
|
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若定义在R上的偶函数f(x)在(-∞,0)上是减函数,且f(
1
3
)=2.那么不等式f(
log
1
8
x
)>2的解集为( )
A.
(
1
2
,1)∪(2,+∞)
B.
(0,
1
2
)∪(2,+∞)
C.
(0,
1
2
)
D.(2,+∞)
题型:单选题
难度:简单
|
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设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x
2
x∈[t,t+2],若对任意的,不等式
f(x)≤
1
2
f(x+t)
恒成立,则实数t的取值范围是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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