已知定义在区间上的函数f(x)=mx+nx2+1为奇函数且f(12)=25(1)求实数m,n的值;(2)求证:函数f(x)在区间[-1,1]上是增函数.(3)若
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已知定义在区间上的函数f(x)=mx+nx2+1为奇函数且f(12)=25(1)求实数m,n的值;(2)求证:函数f(x)在区间[-1,1]上是增函数.(3)若
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知定义在区间上的函数f(x)=
mx+n
x
2
+1
为奇函数且f(
1
2
)=
2
5
(1)求实数m,n的值;
(2)求证:函数f(x)在区间[-1,1]上是增函数.
(3)若∀x
1
,x
2
∈[-1,1],|f(x
1
)-f(x
2
)|≤t恒成立,求t的最小值.
答案
(1)∵函数f(x)=
mx+n
x
2
+1
为奇函数,∴对于定义域内的任意实数x,都有f(-x)=-f(x)
即
-mx+n
x
2
+1
=-
mx+n
x
2
+1
,∴-mx+n=-mx-n,∴n=0
∴f(x)=
mx
x
2
+1
∵f(
1
2
)=
2
5
∴
m×
1
2
(
1
2
)
2
+1
=
2
5
,∴m=1
∴m=1,n=0;
(2)证明:由(1)知,f(x)=
x
x
2
+1
,求导函数可得:f′(x)=
(1-x)(1+x)
(x
2
+1
)
2
∵x∈[-1,1],∴f′(x)≥0,∴函数f(x)在区间[-1,1]上是增函数;
(3)∵函数f(x)在区间[-1,1]上是增函数,
∴f(x)
min
=-
1
2
,f(x)
max
=
1
2
∵∀x
1
,x
2
∈[-1,1],|f(x
1
)-f(x
2
)|≤t恒成立,
∴f(x)
max
-f(x)
min
≤t
∴t≥1
∴t的最小值为1.
举一反三
若函数f(x)=
(
1
4
)
x
, -1≤x<0
4
x
, 0≤x≤1
则f(
1
2
)=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=x
3
+x(x∈R).
(1)指出f(x)的奇偶性及单调性,并说明理由;
(2)若a、b、c∈R,且a+b>0,b+c>0,c+a>0,试判断f(a)+f(b)+f(c)的符号.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
已知函数
f(x)=
1
2
x
2
-f′(2)x
,
g(x)=lnx-
1
2
x
2
.
(I)求函数f(x)的解析式;
(II)若对于任意x∈(0,+∞),都有f(x)+g(x)≤a成立,求实数a的取值范围;
(III)设x
1
,x
2
>0,a
1
,a
2
∈[0,1],且a
1
+a
2
=1,求证:
x
a
1
1
x
a
2
2
≤
a
1
x
1
+
a
2
x
2
.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
定义在R上函数f(x)满足条件:f(x+2)=
1
f(x)
,当x∈(0,2)时,
f(x)=(
1
2
)
x
,则f(2011)=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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对于a,b∈R,记max{a,b}=
b a<b
a a≥b
,若函数
f(x)=max{
1
2
x,|x-1|}
,其中x∈R,则f(x)的最小值为______.
题型:填空题
难度:简单
|
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