已知f（x）=ax+bx2+1是定义在R上的奇函数，且f（x）的图象经过点（1，12）．（1）求实数a，b的值；（2）求证：y=f（x）在（1，+∞）是减函数．

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知f（x）=

ax+b

x2+1

是定义在R上的奇函数，且f（x）的图象经过点（1，

1

2

）．
（1）求实数a，b的值；
（2）求证：y=f（x）在（1，+∞）是减函数．

答案

（1）因为f（x）=

ax+b

x2+1

是定义在R上的奇函数
所以f（0）=0
所以b=0
又因为f（x）的图象经过点（1，

1

2

），
所以 f（1）=

a

2

=

1

2

所以a=1，b=0
（2）∵f（x）=

x

x2+1

，
∴f′（x）=

x2+1-2x×x

(x2+1)2

=

-x2+1

(x2+1)2

，
∵x＞1，可得-x²+1＜0，
可以推出f′（x）＜0，在（1，+∞）上成立，
∴y=f（x）在（1，+∞）是减函数．