已知函数f(x)满足:①∀x,y∈R,f(x+y)=f(x)+f(y),②∀x>0,f(x)>0,则( )A.f(x)是偶函数且在(0,+∞)上单调递减B.f
题型:单选题难度:简单来源:门头沟区一模
已知函数f(x)满足:①∀x,y∈R,f(x+y)=f(x)+f(y),②∀x>0,f(x)>0,则( )A.f(x)是偶函数且在(0,+∞)上单调递减 | B.f(x)是偶函数且在(0,+∞)上单调递增 | C.f(x)是奇函数且单调递减 | D.f(x)是奇函数且单调递增 |
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答案
显然f(x)的定义域是R,关于原点对称. 又∵函数对一切x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y), ∴令x=y=0,得f(0)=2f(0),∴f(0)=0. 再令y=-x,得f(0)=f(x)+f(-x), ∴f(-x)=-f(x), ∴f(x)为奇函数. 任取x1<x2,x2-x1>0,则f(x2-x1)>0 ∴f(x2)+f(-x1)>0; 对f(x+y)=f(x)+f(y)取x=y=0得:f(0)=0, 再取y=-x得f(x)+f(-x)=0即f(-x)=-f(x), ∴有f(x2)-f(x1)>0 ∴f(x2)>f(x1) ∴f(x)在R上递增. 故选D. |
举一反三
定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),f(1)=2,则f(-2)等于( ) |
设A=(a1,a2,a3),B=,记AϖB=max{a1b1,a2b2,a3b3},(注:max{a1,a2,…an}表示a1,a2,…an中最大的数),若A=(x-1,x+1,x),B=,且AϖB=x-1,则x的取值范围为______. |
已知函数f(x)对任意的m,n∈R,都有f(m+n)=f(m)+f(n),并且x>0时恒有f(x)>0 (1)求证:f(x)在R上是增函数 (2)若f(k•3x)+f(3x-9x-2)<0对∀x∈R恒成立,求实数k的取值范围. |
对于定义域为[0,1]的函数f(x),如果同时满足以下三条:①对任意的x∈[0,1],总有f(x)≥0;②f(1)③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,都有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立,则称函数f(x)为理想函数. (1)若函数f(x)为理想函数,求f(0)的值; (2)判断函数g(x)=2x-1(x∈[0,1])是否为理想函数,并予以证明; (3)若函数f(x)为理想函数,假定?x0∈[0,1],使得f(x0)∈[0,1],且f(f(x0))=x0,求证f(x0)=x0. |
如果函数y=f(x)的定义域为R,对于定义域内的任意x,存在实数a使得f(x+a)=f(-x)成立,则称此函数具有“P(a)性质”. (1)判断函数y=sinx是否具有“P(a)性质”,若具有“P(a)性质”求出所有a的值;若不具有“P(a)性质”,请说明理由. (2)已知y=f(x)具有“P(0)性质”,且当x≤0时f(x)=(x+m)2,求y=f(x)在[0,1]上的最大值. (3)设函数y=g(x)具有“P(±1)性质”,且当- |