证明:(Ⅰ)因为三棱柱ABC-A1B1C1中CC1⊥平面ABC, 所以CC1⊥BC. ……………………1分 因为AC=BC=2,, 所以由勾股定理的逆定理知BC⊥AC. ……………………2分 因为AC∩CC1=C, 所以BC⊥平面ACC1A1. ……………………3分 因为AM平面ACC1A1,
所以BC⊥AM. ……………………4分 (Ⅱ)连结A1B交AB1于P. ……………………5分 因为三棱柱ABC-A1B1C1, 所以P是A1B的中点. 因为M,N分别是CC1,AB的中点, 所以NP // CM,且NP = CM, 所以四边形MCNP是平行四边形, ……………………6分 所以CN//MP. ……………………7分 因为CN平面AB1M,MP平面AB1M, ………………8分 所以CN //平面AB1M. ……………………9分 (Ⅲ)因为BC⊥AC,且CC1⊥平面ABC, 以C为原点,CA,CB,CC1分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系C-xyz. 因为,所以C(0,0,0),A(2,0,0),B1(0,2,4),,, . ……………………10分 设平面的法向量,则,. 即 ……………………11分 令,则,即. 又平面MB1C的一个法向量是, 所以. ………………12分 由图可知二面角A-MB1-C为锐角, 所以二面角A-MB1-C的大小为. ……………………14分 |