设函数f(x)=ax,g(x)=|x-a|,a∈R.(1)当a=2时,解不等式f(x)>g(x);(2)记F(x)=f(x)-g(x),判断F(x)的奇偶性,并

设函数f(x)=ax,g(x)=|x-a|,a∈R.(1)当a=2时,解不等式f(x)>g(x);(2)记F(x)=f(x)-g(x),判断F(x)的奇偶性,并

题型:解答题难度:一般来源:不详
设函数f(x)=ax,g(x)=|x-a|,a∈R.
(1)当a=2时,解不等式f(x)>g(x);
(2)记F(x)=f(x)-g(x),判断F(x)的奇偶性,并说明理由;
(3)设G(x)=f(x)g(x),且G(x)在[1,+∞)上递增,求实数a的取值范围.
答案
(1)2x>|x-2|⇔-2x<x-2<2x,得解集为(
2
3
,+∞)
…(4分)
(2)F(x)=ax-|x-a|,
当a=0时,F(x)=-|x|,F(-x)=-|-x|=-|x|,
所以F(x)=F(-x),F(x)为偶函数;…(6分)
当a≠0,F(a)=a2,F(-a)=-a2-2|a|
∴F(a)+F(-a)=-2|a|≠0
  F(a)-F(-a)=2a2+2|a|≠0
所以,F(x)为非奇非偶函数.  …(10分)
(3)G(x)=ax|x-a|=





a(x-
a
2
)
2
-
a3
4
x≥a
-a(x-
a
2
)
2
+
a3
4
x<a
,…(12分)
①当a=0时,G(x)=0是常数函数,不合题意.
当a>0时,G(x)在[a,+∞)和(-∞,
a
2
]
上递增,所以a∈(0,1].…(15分)
②当a<0时,G(x)在[a,
a
2
]
上递增,在[
a
2
,+∞)
和(-∞,a]上递减,不合题意.
综上所述,实数a的取值范围是(0,1]…(18分)
举一反三
已知函数f(x)(x∈R)的最小正周期为2,且对任意实数x,f(2-x)=f(2+x),且[a,b](a<b)是f(x)的一个单调区间.
(1)求证:b-a≤1;
(2)已知区间[0,1]为f(x)的一个单调区间,且对任意x<0,都有f(2x)>f(2),解关于实数x的不等式f(-10.5)>f(x2+6x).
题型:解答题难度:一般| 查看答案
对定义在实数集R上的函数f1(x),f2(x),令F(x)=f1(x)+f2(x),已知对任意不同的实数x1,x2,|f1(x1)-f1(x2)|>|f2(x1)-f2(x2)|.
(1)若y=f1(x)是区间D上的增函数,能否确定y=F(x)是区间D上的增函数?若能够确定,说明理由;若不能,请举例说明;
(2)若y=f2(x)是区间D上的增函数,能否确定y=F(x)是区间D上的增函数?若能够确定,说明理由;若不能,请举例说明;
(3)求函数f(x)=x2+
1
4x
(x>0)
的单调区间.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
记不超过x的最大整数为[x],令{x}=x-[x],则函数y={x}:
①定义域为R;  
②值域为[0,1];
③在定义域上是单调增函数;    
④是周期为1的周期函数;   
⑤是奇函数.
其中正确判断的序号是______(把所有正确的序号都填上).
题型:填空题难度:一般| 查看答案
函数f(x)=ax(a>0且a≠1)是R上的减函数,则a的取值范围(  )
A.(0,1)B.[0,1)C.(0,1]D.[0,1]
题型:单选题难度:一般| 查看答案
函数f(x)=
x+b
x-a
,x∈[-1,+∞)是增函数的一个充分非必要条件是(  )
A.a<1且b>3B.a>-1且b>1C.a>1且b>-1D.a<-2且b<2
题型:单选题难度:简单| 查看答案
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