设函数f（x）=ax，g（x）=|x-a|，a∈R．（1）当a=2时，解不等式f（x）＞g（x）；（2）记F（x）=f（x）-g（x），判断F（x）的奇偶性，并
题型：解答题难度：一般来源：不详
设函数f（x）=ax，g（x）=|x-a|，a∈R．
（1）当a=2时，解不等式f（x）＞g（x）；
（2）记F（x）=f（x）-g（x），判断F（x）的奇偶性，并说明理由；
（3）设G（x）=f（x）g（x），且G（x）在[1，+∞）上递增，求实数a的取值范围． |
答案
（1）2x＞|x-2|⇔-2x＜x-2＜2x，得解集为(，+∞)…（4分）
（2）F（x）=ax-|x-a|，
当a=0时，F（x）=-|x|，F（-x）=-|-x|=-|x|，
所以F（x）=F（-x），F（x）为偶函数；…（6分）
当a≠0，F（a）=a2，F（-a）=-a2-2|a|
∴F（a）+F（-a）=-2|a|≠0
F（a）-F（-a）=2a2+2|a|≠0
所以，F（x）为非奇非偶函数． …（10分）
（3）G(x)=ax|x-a|=，…（12分）
①当a=0时，G（x）=0是常数函数，不合题意．
当a＞0时，G（x）在[a，+∞）和(-∞，]上递增，所以a∈（0，1]．…（15分）
②当a＜0时，G（x）在[a，]上递增，在[，+∞)和（-∞，a]上递减，不合题意．
综上所述，实数a的取值范围是（0，1]…（18分） |
举一反三
已知函数f（x）（x∈R）的最小正周期为2，且对任意实数x，f（2-x）=f（2+x），且[a，b]（a＜b）是f（x）的一个单调区间．
（1）求证：b-a≤1；
（2）已知区间[0，1]为f（x）的一个单调区间，且对任意x＜0，都有f（2x）＞f（2），解关于实数x的不等式f（-10.5）＞f（x2+6x）． |
对定义在实数集R上的函数f1（x），f2（x），令F（x）=f1（x）+f2（x），已知对任意不同的实数x1，x2，|f1（x1）-f1（x2）|＞|f2（x1）-f2（x2）|．
（1）若y=f1（x）是区间D上的增函数，能否确定y=F（x）是区间D上的增函数？若能够确定，说明理由；若不能，请举例说明；
（2）若y=f2（x）是区间D上的增函数，能否确定y=F（x）是区间D上的增函数？若能够确定，说明理由；若不能，请举例说明；
（3）求函数f(x)=x2+(x＞0)的单调区间． |
记不超过x的最大整数为[x]，令{x}=x-[x]，则函数y={x}：
①定义域为R；
②值域为[0，1]；
③在定义域上是单调增函数；
④是周期为1的周期函数；
⑤是奇函数．
其中正确判断的序号是______（把所有正确的序号都填上）． |
函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）是R上的减函数，则a的取值范围（ ）| A．（0，1） | B．[0，1） | C．（0，1] | D．[0，1] |
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函数f(x)=，x∈[-1，+∞）是增函数的一个充分非必要条件是（ ）| A．a＜1且b＞3 | B．a＞-1且b＞1 | C．a＞1且b＞-1 | D．a＜-2且b＜2 |
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