(1)利用定义证明:函数f(x)=x3-3x在[0,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增;(2)设x0是方程x3-3x=100的正实数解,利用(1)的结论,
题型:解答题难度:一般来源:不详
(1)利用定义证明:函数f(x)=x3-3x在[0,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增; (2)设x0是方程x3-3x=100的正实数解,利用(1)的结论,求证:4<x0<5. |
答案
(1)任取x1,x2∈[0,+∞),且x1<x2 ∴f(x1)-f(x2)=(x13-3x1)-(x23-3x2)
| =x13-x23-3x1+3x2 | =(x1-x2)(x12+x1x2+x22-3) |
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∵0≤x1<x2,即x1-x2<0 当x1,x2∈[0,1]时,x12+x1x2+x22-3<0,有f(x1)-f(x2)>0, 即f(x1)>f(x2); 当x1,x2∈[1,+∞)时,x12+x1x2+x22-3>0,有f(x1)-f(x2)<0, 即f(x1)<f(x2); 由单调性定义得:f(x)=x3-3x在[0,1]上单调减,在[1,+∞)上单调增; (2)由于f(x)=x3-3x=x(x2-3),当0≤x≤时,f(x)≤0<100, ∴方程x3-3x=100的正实数解x0> 又∵f(x)=x3-3x在[1,+∞)上的增函数,且f(x0)=100,f(4)=52,f(5)=110, ∴f(4)<f(x0)<f(5),即4<x0<5. |
举一反三
定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且当x∈[-1,1]时,f(x)=x2. (1)求证:2是函数f(x)的一个周期; (2)求f(x)在区间[2k-1,2k+1],k∈Z上的函数解析式; (3)是否存在整数k,使>0对任意x∈[2k-1,2k+1]恒成立?若存在,请求出k的取值范围;若不存在,请说明理由. |
已知幂函数f(x)满足:对任意x1,x2∈R,当且仅当x1=x2时,有f(x1)=f(x2).则f(-1)+f(0)+f(1)的值为______. |
已知二次函数f(x)=x2-mx+2在(-∞,1]上递减,在[1,+∞)上递增,则m=______. |
下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )A.y=ex | B.y=sinx | C.y=-x3 | D.y=logx |
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已知幂函数y=(m2-m-1)xm2-2m-3在(0,+∞)内单调递减,则m=______. |
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