对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义：设f″（x）是函数y=f（x）的导数y=f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称

题型：填空题难度：一般来源：孝感一模

对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），定义：设f″（x）是函数y=f（x）的导数y=f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为函数y=f（x）的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现为条件，求
（1）函数f（x）=x³-3x²+3x对称中心为______．
（2）若函数g（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+3x-

5

12

+

1

x- 1 2

，则g（

1

2011

）+g（

2

2011

）+g（

3

2011

）+g（

4

2011

）+…+g（

2010

2011

）=______．

答案

（1）∵函数f（x）=x³-3x²+3x，∴f′（x）=3x² -6x+3，∴f″（x）=6x-6．
令 f″（x）=6x-6=0，解得 x=1，且f（1）=1，故函数f（x）=x³-3x²+3x对称中心为（1，1），
故答案为 （1，1）．
（2）若函数g（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+3x-

5

12

+

1

x- 1 2

=

1

3

x³-

1

2

x²+3x-

5

12

+

2

2x-1

，令h（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+3x-

5

12

，m（x）=

2

2x-1

，则g（x）=h（x）+m（x）．
 则h′（x）=x²-x+3，h″（x）=2x-1，令h″（x）=0，可得x=

1

2

，故h（x）的对称中心为（

1

2

，1）．
设点p（x₀，y₀）为曲线上任意一点，则点P关于（

1

2

，1）的对称点P′（1-x₀，2-y₀）也在曲线上，
∴h（1-x₀）=2-y₀ ，∴h（x₀）+h（1-x₀）=y₀+（2-y₀）=2．
∴h（

1

2011

）+h（

2

2011

）+h（

3

2011

）+h（

4

2011

）+…+h（

2010

2011

）
=[h（

1

2011

）+h（

2010

2011

）]+[h（

2

2011

）+h（

2009

2011

）]+[h（

3

2011

）+h（

2008

2011

）]+…+[h（

1005

2011

）+h（

1006

2011

）]=1005×2=2010．
由于函数m（x）=

2

2x-1

的对称中心为（

1

2

，0），可得m（x₀）+m（1-x₀）=0．
∴m（

1

2011

）+m（

2

2011

）+m（

3

2011

）+m（

4

2011

）+…+m（

2010

2011

）
=[m（

1

2011

）+m（

2010

2011

）]+[m（

2

2011

）+m（

2009

2011

）]+[m（

3

2011

）+m（

2008

2011

）]+…+[m（

1005

2011

）+m（

1006

2011

）]=1005×0=0．
∴g（

1

2011

）+g（

2

2011

）+g（

3

2011

）+g（

4

2011

）+…+g（

2010

2011

）=h（

1

2011

）+h（

2

2011

）+h（

3

2011

）+h（

4

2011

）+…+h（

2010

2011

）
+m（

1

2011

）+m（

2

2011

）+m（

3

2011

）+m（

4

2011

）+…+m（

2010

2011

）
=2010+0=2010，
故答案为2010．