设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>b>c),已知f(1)=0,且存在实数m,使f(m)=-a.(1)试推断f(x)在区间[0,+∞)上是否为单调函数,并
题型:解答题难度:一般来源:不详
设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>b>c),已知f(1)=0,且存在实数m,使f(m)=-a. (1)试推断f(x)在区间[0,+∞)上是否为单调函数,并说明你的理由; (2)设g(x)=f(x)+bx,对于x1,x2∈R,且x1≠x2,若g(x1)=g(x2)=0,求|x1-x2|的取值范围; (3)求证:f(m+3)>0. |
答案
(1)∵存在实数m,使f(m)=-a. ∴方程ax2+bx+c+a=0有实根⇒△=b2-4a(a+c)≥0…(*) , ∴a+b+c=0,结合a>b>c得a>0,c<0 再将a+c=-b代入不等式(*),得 b2-4a•(-b)=b(b+4a)≥0, ∵b+4a=-(a+c)+4a=3a-c>0 ∴b≥0. 可得二次函数f(x)=ax2+bx+c图象开口向上,且关于直线x=-对称 ∵-<0,f(x)在[-,+∞)上是增函数. ∴f(x)在区间[0,+∞)上是增函数…(3分) (2)根据题意,得x1,x2是方程g(x)=0即ax2+2bx+c=0的两实根. 根据根与系数的关系得:
| ∴|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2=-=(b2-ac)=[(a+c)2-ac] |
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=4[()2++1]=4(+)2+3. ∵a>b=-(a+c). ∴2a>-c>0⇒>-2,又a+c=-b≤0, ∴≤-1⇒(+)2∈[,). ∴|x1-x2|∈[2,2),….(8分) (3)∵f(1)=0.设f(x)=a(x-1)(x-). ∵f(m)=-a, ∴a(m-1)(m-)=-a, ∴<m<1⇒m>-2⇒m+3>1 ∵f(x)在区间[0,+∞)上是增函数 ∴f(m+3)>f(1)=0..…(14分) |
举一反三
函数f(x)=|logax|(0<a<1)的单调减区间是______. |
已知定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足: (1)对于任意x∈(0,1),总有f(x)>0; (2)f(1)=1; (3)若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,则有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2); (Ⅰ)证明f(x)在[0,1]上为增函数; (Ⅱ)若对于任意x∈[0,1],总有4f2(x)-4(2-a)f(x)+5-4a≥0,求实数a的取值范围; (Ⅲ)比较f(++…+)与1的大小,并给与证明. |
定义在R上奇函数,f(x)对任意x∈R都有f(x+1)=f(3-x),若f(1)=-2,则2012f(2012)-2013f(2013)=( )A.-4026 | B.4026 | C.-4024 | D.4024 |
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已知函数f(x)=ax2-2ax+3-b(a>0)在[1,3]上有最大值5和最小值2,则a、b的值是______. |
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