(1)∵2f(x)+f(-x)-3•2sinx=0, ∴2f(-x)+f(x)-3•2sin(-x)=0, 联立消去f(-x),可得f(x)=21+sinx-; (2)f(x)在[-,]上单调递增, 证明:任意x1,x2∈[-,],设x1<x2,则
| f(x1)-f(x2)=(21+sinx1-)-(21+sinx2-) | =2(2sinx1-2sinx2)+(-) | =(2sinx1-2sinx2)(2+) |
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因为x1,x2∈[-,],所以sinx1<sinx2, 所以2sinx1<2sinx2,又2sinx1+sinx2>0, 所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), 所以f(x)在[-,]上单调递增. (3)由(2)过程容易知道,f(x)在[,]上单调递减, 又f(x)=f(x+2π),所以f(x)是最小正周期为2π的周期函数. 设t=2sinx,则t∈(0,2],由2t-=,解得t=或t=-(舍). 所以2sinx==2,sinx=log22=, 故x=+2kπ,k∈Z,或x=+2kπ,k∈Z. 故满足条件的所有实数x的集合为{x|x=+2kπ,或x=+2kπ,k∈Z}. |