已知函数f(x)的定义域为R,对任意的x1,x2都满足f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),当x<0时,f(x)<0.(1)判断f(x)的单调性;(2)判断
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已知函数f(x)的定义域为R,对任意的x1,x2都满足f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),当x<0时,f(x)<0.(1)判断f(x)的单调性;(2)判断
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数f(x)的定义域为R,对任意的x
1
,x
2
都满足f(x
1
+x
2
)=f(x
1
)+f(x
2
),
当x<0时,f(x)<0.
(1)判断f(x)的单调性;
(2)判断f(x)的奇偶性;
(3)是否存在这样的实数m,当
θ∈[0,
π
2
]时
,使不等式f[cos
2
θ-(2+m)sinθ]+f(3+2m)>0对所有θ恒成立,若存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由.
答案
(1)设x
1
<x
2
则x
1
-x
2
<0,
f(x
1
)=f(x
1
-x
2
+x
2
)=f(x
1
-x
2
)+f(x
2
)<f(x
2
)
∴f(x)在(-∞,+∞)上为增函数
(2)令x
1
=x
2
=0有f(0)=0
∴f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)∴f(-x)=-f(x)
∴f(x)为奇函数
(3)假设存在实数m,由条件得f[cos
2
θ-(2+m)sinθ+3+2m]>f(0)⇒cos
2
θ-(2+m)sinθ+3+2m>0
令t=sinθt∈[0,1]有-t
2
-(2+m)t+4+2m>0在[0,1]上恒成立
令g(t)=-t
2
-(2+m)t+4+2m则有
g(0)>0
g(1)>0
⇒m>-1
举一反三
若f(tanx)=sin2x,则f(-1)的值是( )
A.-sin2
B.-1
C.
1
2
D.1
题型:单选题
难度:简单
|
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若函数
f(x)=lo
g
a
(
x
2
-ax+
1
2
)
有最小值,则实数a的取值范围是______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
下列函数中,在区间(1,+∞)上为增函数的是( )
A.y=2
1-x
B.
y=-(x+1
)
3
2
C.y=lg(x-1)
D.y=x+
2
x
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
f(x)是R上的减函数,并且f(x)的图象经过点A(-1,5)和B(3,-1),则不等式|f(x)-2|<3的解集是______.
题型:填空题
难度:简单
|
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已知函数
f(x)=
(2-a)x-
a
2
,(x<1)
lo
g
a
x,(x≥1)
是R上的增函数,那么实数a的取值范围是( )
A.(1,2)
B.
(1,
4
3
]
C.
[
4
3
,2)
D.(0,1)
题型:单选题
难度:简单
|
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