已知f(x)是R上的偶函数,若将f(x)的图象向右平移一个单位后,则得到一个奇函数的图象,若f(2)=-1,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2009)=
题型:单选题难度:一般来源:不详
已知f(x)是R上的偶函数,若将f(x)的图象向右平移一个单位后,则得到一个奇函数的图象,若f(2)=-1,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2009)=( ) |
答案
法一:由题意f(x)是R上的偶函数,f(x-1)是R上的奇函数, f(-x)=f(x),f(-x-1)=-f(x-1),① ∴f(-x-1)=f(x+1),② 由①②得f(x+1)=-f(x-1)③恒成立, ∴f(x-1)=-f(x-3)④ 由③④得f(x+1)=f(x-3)恒成立, ∴函数的周期是4,下研究函数一个周期上的函数的值 由于f(x)的图象向右平移一个单位后,则得到一个奇函数的图象即f(0-1)=0,即f(-1)=0,由偶函数知f(1)=0,由周期性知f(3)=0 由f(2)=-1得f(-2)=-1,由f(x+1)=-f(x-1),知f(0)=1,故f(4)=1 故有f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0 ∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2009)=f(2009)=f(1)=0 故选A |
举一反三
已知函数f(x)=,若f(2-a2)>f(a),则实数a取值范围是( )A.(-∞,-1)∪(2,+∞) | B.(-2,1) | C.(-1,2) | D.(-∞,-2)∪(1,+∞) |
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下列函数中,在(0,+∞)上是减函数的是( )A.y= | B.y=x2+1 | C.y=2x | D.y=log3x |
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已知函数f(x)= | -x2+6x+e2-5e-2,x≤e | x-2lnx,x>e |
| | (其中e为自然对数的底数,且e≈2.718)若f(6-a2)>f(a),则实数a的取值范围是______. |
已知定义在R上的函数f(x)满足:对任意x∈R,都有f(x)=f(2-x)成立,且当x∈(-∞,1)时,(x-1)f′(x)<0(其中f"(x)为f(x)的导数).设a=f(0),b=f(),c=f(3),则a、b、c三者的大小关系是( )A.a<b<c | B.c<a<b | C.c<b<a | D.b<c<a |
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已知定义在R上的函数F(x)满足F(x+y)=F(x)+F(y),当x>0时,F(x)<0,且对任意的x∈[0,1],不等式组 | F(2kx-x2)<F(k-4) | F(x2-kx)<F(k-3) |
| | 均成立, (1)求证:函数F(x)在R上为减函数 (2)求实数k的取值范围. |
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