已知定义在R上的函数f(x)为奇函数,且在[0,+∞)递增,对任意的实数θ∈R,是否存在这样的实数m,使得f(cos2θ-3)+f(4m-2mcosθ)>f(0
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知定义在R上的函数f(x)为奇函数,且在[0,+∞)递增,对任意的实数θ∈R,是否存在这样的实数m,使得f(cos2θ-3)+f(4m-2mcosθ)>f(0)对所有的θ都成立?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由. |
答案
∵f(x)为奇函数,且在[0,+∞)上是增函数,则f(x)在R上为增函数,且f(0)=0, 所以原不等式可化为f(cos2θ-3)>f(2mcosθ-4m),∴cos2θ-3>2mcosθ-4m,即∴cos2θ-mcosθ+2m-2>0. 令t=cosθ,则原不等式可转化为: 当t∈[-1,1]时,是否存在m∈R,使得g(t)=t2-mt+2m-2>0恒成立. 由t2-mt+2m-2>0,t∈[-1,1],得m>=t-2++4,t∈[-1,1]时, 令h(t)=(2-t)+≥2,即当且仅当t=2-时,h(t)min=2, 故m>(t-2++4)max=4-2. 即存在这样的m,且m∈(4-2,+∞). |
举一反三
已知定义在R上的函数f(x)满足:f(-x)=f(x),当x>0时,f(x)=x;则f(-9)=______. |
f(x)是定义在(-2,2)上的单调递减的奇函数,当f(2-a)+f(2a-3)<0,则a的取值范围是( )A.1<a< | B.0<a<1 | C.1<a<2 | D.2<a< |
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设x,y∈R,且x2+y2=4,则x-y的最大值是( ) |
已知f(x)=log.是否存在实数p、q、m,使f(x)同时满足下列三个条件: ①定义域为R的奇函数; ②在[1,+∞)上是减函数; ③最小值是-1.若存在,求出p、q、m;若不存在,说明理由. |
奇函数f(x)在R上为减函数,若对任意的实数x,不等式f(kx)+f(-x2+x-2)>0恒成立,则实数k的取值范围为______. |
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