已知函数f(x)=2x-12x.(1)若f(x)=2+22x,求x的值;(2)判断f(x)的单调性,并证明;(3)若2tf(2t)+mf(t)≥0对于任意实数t
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已知函数f(x)=2x-12x.(1)若f(x)=2+22x,求x的值;(2)判断f(x)的单调性,并证明;(3)若2tf(2t)+mf(t)≥0对于任意实数t
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数f(x)=2
x
-
1
2
x
.
(1)若f(x)=2+
2
2
x
,求x的值;
(2)判断f(x)的单调性,并证明;
(3)若2
t
f(2t)+mf(t)≥0对于任意实数t∈[1,2]恒成立,求实数m的取值范围.
答案
(1)∵f(x)=2
x
-
1
2
x
=2+
2
2
x
,∴2
2x
-2•2
x
-3=0,解得 2
x
=3,或 2
x
=-1 (舍去),
故 x=log
2
3.
(2)函数f(x)的定义域为R,任意取x
2
>x
1
,则 f(x
2
)-f(x
1
)=
2
x
2
-
1
2
x
2
-(
2
x
1
-
1
2
x
1
)=(
2
x
2
-2
x
1
)(1+
1
2
x
2
•2
x
1
).
由题设可得,(
2
x
2
-2
x
1
)>0,(1+
1
2
x
2
•2
x
1
)>0,∴f(x
2
)-f(x
1
)>0,即 f(x
2
)>f(x
1
),
故函数f(x)在R上是增函数.
(3)当t∈[1,2],2
t
f(2t)+mf(t)≥0恒成立,即2
t
(2
2t
-
1
2
2t
)+m(2
t
-
1
2
t
)≥0.
由于
2
t
-
1
2
t
>0,∴2
t
(2
t
+
1
2
t
)+m≥0,故 m≥-(4
t
+1).
由于-(4
t
+1)的最大值为-5,故有m≥-5,即m的范围是[-5,+∞).
举一反三
函数f(x)=4
x-1
+2
2-x
的最小值为( )
A.3
B.
5
4
C.2
D.1
题型:单选题
难度:简单
|
查看答案
函数y=
lo
g
3
π
(
x
2
+2x-3)
的递减区间为 ______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
函数
y=
2
x
2
-4x+1
的单调递减区间是______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
已知函数f(x)=
4x-a
1+
x
2
在区间[m,n]上为增函数,
(I)若m=0,n=1时,求实数a的取值范围;
(Ⅱ)若f(m)f(n)=-4.则当f(n)-f(m)取最小值时,
(i)求实数a的值;
(ii)若P(x
1
,y
1
),Q(x
2
,y
2
)(a<x
1
<x
2
<n)是f(x)图象上的两点,且存在实数x
0
∈(a,n)使得f′(x
0
)=
f(
x
2
)-f(
x
1
)
x
2
-
x
1
,证明:x
1
<x
0
<x
2
.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
函数f(x)=log
a
|x+b|是偶函数,且在区间(0,+∞)上单调递减,则f(b-2)与f(a+1)的大小关系为( )
A.f(b-2)=f(a+1)
B.f(b-2)>f(a+1)
C.f(b-2)<f(a+1)
D.不能确定
题型:单选题
难度:简单
|
查看答案
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