(I)若m=0,n=1,由已知函数f(x)= 在区间[0,1]上为增函数, 可得 f′(x)== 在区间[0,1]上恒正, 故有,解得a≥0,故实数a的取值范围为[0,+∞). (Ⅱ)(i)因为f(n)-f(m)=f(n)+[-f(m)]≥2=2=4,当且仅当f(n)=-f(m)=2时等号成立. 由f(n)=,有-a=2(n-1)2≥0,得a≤0; 由f(m)=,有a=2(m+1)2≥0,得a≥0;(10分) 故f(n)-f(m)取得最小值时,a=0,n=1. (ii)此时,f′(x0)=,=, 由f′(x0)=,可得 =. 欲证x1<x0<x2,先比较 与 的大小. 由于 -=-=(x1-x2)(2x1+x2-x12 •x2) | (1+x12)(1+x22) | =(x1-x2)[x1(2-x1•x2) x2] | (1+x12)(1+x22) | .
因为0<x1<x2<1,所以0<x1x2<1,有x1(2-x1x2)+x2>0, 于是(x1-x2)[x1(2-x1x2)+x2]<0,即 -<0. 另一方面,-=(x12-x02)[ 3+x12+x02-x12•x02] | (1+x02)(1+x12) | ,
因为0<x12x02<1,所以3+x12+x02-x12x02>0,从而x12-x02<0,即x1<|x0|. 同理可证x0<x2,因此x1<|x0|<x2. |