已知函数f(x)=x1+|x|(Ⅰ)判断并证明函数f(x)的奇偶性;(Ⅱ)若x1<x2,判断 f (x1)和f (x2)的大小,并给出证明.

已知函数f(x)=x1+|x|(Ⅰ)判断并证明函数f(x)的奇偶性;(Ⅱ)若x1<x2,判断 f (x1)和f (x2)的大小,并给出证明.

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=
x
1+|x|

(Ⅰ)判断并证明函数f(x)的奇偶性;
(Ⅱ)若x1<x2,判断 f (x1)和f (x2)的大小,并给出证明.
答案
(本小题满分12分)
(Ⅰ)证明:函数f(x)的定义域是(-∞,+∞),(2分)
f(-x)=
-x
1+|x|
=-
x
1+|x|
=-f(x)
(4分)
∴函数f(x)是奇函数(5分)

(Ⅱ)先探究函数f(x)的单调性;
(i)当0≤x1<x2f(x1)-f(x2)=
x1
1+x1
-
x2
1+x2

=
x1-x2
(1+x1)(1+x2)

∵0≤x1<x2∴1+x1>0,1+x2>0,x1-x2<0
∴f (x1)<f (x2),
∴当x∈[0,+∞)时,函数f(x)是增函数.(7分)
(ii)当x∈(-∞,0)时,由(Ⅰ)知,函数f(x)是奇函数,
∴当x∈(-∞,0)时,函数f(x)是增函数 (9分),则(i)当0≤x1<x2
f(x1)<f(x2),(ii)当x1<x2<0,f (x1)<f (x2),
(iii)当x1<0≤x2,总有 f(x1)<f(x2),(11分)
综上所述当x1<x2时,总有 f(x1)<f(x2). (12分)
举一反三
若f(sinx)=cos2x,则f(cos15°)的值为______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知|m|<1,直线l1:y=mx+1,l2:x=-my+1,l1与l2相交于点P,l1交y轴于点A,l2交x轴于点B
(1)证明:l1⊥l2
(2)用m表示四边形OAPB的面积S,并求出S的最大值;
(3)设S=f (m),求U=S+
1
S
的单调区间.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知二次函数f(x)=ax2+bx+4,集合A={x|f(x)=x}.
(1)若A={1},求f(x);
(2)若1∈A,且1≤a≤2,设f(x)在区间[
1
2
,2]
上的最大值、最小值分别为M、m,记g(a)=M-m,求g(a)的最小值.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
设0<a<1,f(logax)=
a(x2-1)
(a2-1)x

(Ⅰ)求f(x)的表达式,并指出其奇偶性、单调性(不必写出证明过程);
(Ⅱ)解关于x的不等式:f(ax)+f(-2)>f(2)+f(-ax
(Ⅲ)(理)当n∈N时,比较f(n)与n的大小.
(文)若f(x)-4的值仅在x<2时取负数,求a的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知f(x)=





2x,x≤1
x,x>1
,则f(2)=(  )
A.2B.4C.1D.0
题型:单选题难度:简单| 查看答案
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