已知|m|<1,直线l1:y=mx+1,l2:x=-my+1,l1与l2相交于点P,l1交y轴于点A,l2交x轴于点B(1)证明:l1⊥l2;(2)用m表示四边

已知|m|<1,直线l1:y=mx+1,l2:x=-my+1,l1与l2相交于点P,l1交y轴于点A,l2交x轴于点B(1)证明:l1⊥l2;(2)用m表示四边

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知|m|<1,直线l1:y=mx+1,l2:x=-my+1,l1与l2相交于点P,l1交y轴于点A,l2交x轴于点B
(1)证明:l1⊥l2
(2)用m表示四边形OAPB的面积S,并求出S的最大值;
(3)设S=f (m),求U=S+
1
S
的单调区间.
答案
(1)由题意知,m≠0,l1与l2的斜率分别为 m,
1
-m
,斜率之积等于-1,故l1⊥l2
(2)由题意知,A(0,1),B(1,0),AB=


2
,四边形OAPB为圆内接四边形(有一组对角互补且都是直角),
把l1与l2相的方程联立方程组可解得点P(
1-m
1+m2
1+m
1+m2
),AB 的方程为x+y-1=0,
点P到 AB 的距离为
|
1-m
1+m2
+
1+m
1+m2
-1|


2
=
1-m2


2
(1+m2)

 由四边形OAPB的面积S等于两个直角三角形OAB和APB的面积之和,
∴S=
1
2
×1×1+
1
2
×


2
×
1-m2


2
(1+m2)
=
1
2
+
1-m2
2(1+m2)
=
1
1+m2

故 m=0 时,S有最大值为 1.
(3)U=S+
1
S
=
1
1+m2
+(1+m2),|m|<1,U的导数U=
-2m
1+m2
+2m=2m(1-
1
1+m2
)>0,
∴U 在其定义域(-1,1)内是单调增函数.
举一反三
已知二次函数f(x)=ax2+bx+4,集合A={x|f(x)=x}.
(1)若A={1},求f(x);
(2)若1∈A,且1≤a≤2,设f(x)在区间[
1
2
,2]
上的最大值、最小值分别为M、m,记g(a)=M-m,求g(a)的最小值.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
设0<a<1,f(logax)=
a(x2-1)
(a2-1)x

(Ⅰ)求f(x)的表达式,并指出其奇偶性、单调性(不必写出证明过程);
(Ⅱ)解关于x的不等式:f(ax)+f(-2)>f(2)+f(-ax
(Ⅲ)(理)当n∈N时,比较f(n)与n的大小.
(文)若f(x)-4的值仅在x<2时取负数,求a的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知f(x)=





2x,x≤1
x,x>1
,则f(2)=(  )
A.2B.4C.1D.0
题型:单选题难度:简单| 查看答案
函数y=


sin(2x-
π
3
)
的一个单调递增区间为(  )
A.[-
π
2
π
2
]
B.[
π
6
12
]
C.[-
12
12
]
D.[
12
11π
12
]
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知f(x)=ex-e-x,g(x)=ex+e-x,其中e=2.718….
(1)求[f(x)]2-[g(x)]2的值;
(2)设f(x)•f(y)=4,g(x)•g(y)=8,求
g(x+y)
g(x-y)
的值.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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