已知函数f(x)=a2-2x2x+1(a为常数)(1)证明:函数f(x)在(-∞,+∞)上是减函数;(2)若f(x)为奇函数,求a的值.
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已知函数f(x)=a2-2x2x+1(a为常数)(1)证明:函数f(x)在(-∞,+∞)上是减函数;(2)若f(x)为奇函数,求a的值.
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数
f(x)=
a
2
-
2
x
2
x
+1
(a为常数)
(1)证明:函数f(x)在(-∞,+∞)上是减函数;
(2)若f(x)为奇函数,求a的值.
答案
(1)证明:在(-∞,+∞)上任取两个值x
1
,x
2
且x
1
<x
2
f(x
1
)-f(x
2
)=(
a
2
-
2
x
1
2
x
1
+1
)-(
a
2
-
2
x
2
2
x
2
+1
)
=
2
x
2
2
x
2
+1
-
2
x
1
2
x
1
+1
=
2
x
2
-
2
x
1
(
2
x
1
+1)(
2
x
2
+1)
∵2>1且x
1
<x
2
∴
2
x
2
-
2
x
1
>0又
(
2
x
1
+1)(
2
x
2
+1)>0
∴f(x
1
)-f(x
2
)>0即f(x
1
)>f(x
2
)
∴函数f(x)在(-∞,+∞)上是减函数.
(2)∵f(x)为奇函数且在x=0处有意义,
∴f(0)=0
∴
a
2
-
2
0
2
0
+1
=0
∴a=1
举一反三
已知函数
f(x)=
x
1+|x|
(Ⅰ)判断并证明函数f(x)的奇偶性;
(Ⅱ)若x
1
<x
2
,判断 f (x
1
)和f (x
2
)的大小,并给出证明.
题型:解答题
难度:一般
|
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若f(sinx)=cos2x,则f(cos15°)的值为______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
已知|m|<1,直线l
1
:y=mx+1,l
2
:x=-my+1,l
1
与l
2
相交于点P,l
1
交y轴于点A,l
2
交x轴于点B
(1)证明:l
1
⊥l
2
;
(2)用m表示四边形OAPB的面积S,并求出S的最大值;
(3)设S=f (m),求U=S+
1
S
的单调区间.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
已知二次函数f(x)=ax
2
+bx+4,集合A={x|f(x)=x}.
(1)若A={1},求f(x);
(2)若1∈A,且1≤a≤2,设f(x)在区间
[
1
2
,2]
上的最大值、最小值分别为M、m,记g(a)=M-m,求g(a)的最小值.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
设0<a<1,
f(lo
g
a
x)=
a(
x
2
-1)
(
a
2
-1)x
,
(Ⅰ)求f(x)的表达式,并指出其奇偶性、单调性(不必写出证明过程);
(Ⅱ)解关于x的不等式:f(a
x
)+f(-2)>f(2)+f(-a
x
)
(Ⅲ)(理)当n∈N时,比较f(n)与n的大小.
(文)若f(x)-4的值仅在x<2时取负数,求a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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