已知定义在实数集上的函数y=f(x)满足条件:对于任意的实数x,y,f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0时,f(x)>0,f(1)=2,(1)求f(0);
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知定义在实数集上的函数y=f(x)满足条件:对于任意的实数x,y,f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0时,f(x)>0,f(1)=2, (1)求f(0);f(2); (2)证明:f(x)是奇函数; (3)证明:f(x)是增函数. |
答案
(1)由题设,令x=y=0, 恒等式可变为f(0+0)=f(0)+f(0),解得f(0)=0, 又f(1)=2,f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=2+2=4, (2)令y=-x,则 由f(x+y)=f(x)+f(y)得 f(0)=0=f(x)+f(-x),即得f(-x)=-f(x), 故f(x)是奇函数 (3)任取x1<x2,则x2-x1>0, 由题设x>0时,f(x)>0,可得f(x2-x1)>0 f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)>0 故有f(x2)>f(x1) 所以 f(x)是增函数. |
举一反三
定义在R上的函数f(x)满足f(x+4)=f(x),且当2<x≤6时,f(x)=3-x,则f(1)=______. |
已知f(x)是定义在R上的奇函数,对任意的x都有f(x+2)=f(x)成立,且当x∈(0,1)时f(x)=. (1)判断f(x)在(0,1)上的单调性,并加以证明; (2)求f(x)在[-1,1]上的解析式; (3)当关于x的方程f(x)-1=2λ在[-1,1]上有实数解时,求实数λ的取值范围, |
已知函数f(x)是定义在R上的增函数,且f(m+1)>f(2m-1),则m的取值范围是______. |
已知函数f(x)=,则f[f(2)]的值为______. |
考查函数(1)y=(1+)x,(2)y=log(x-1),(3)y=x,(4)y=x2-4x+1,其中在(0,+∞)单调递增的有( )A.(1)(2) | B.(1)(3) | C.(2)(3) | D.(3)(4) |
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