已知f(x)是定义在R上的奇函数,对任意的x都有f(x+2)=f(x)成立,且当x∈(0,1)时f(x)=2x4x+1.(1)判断f(x)在(0,1)上的单调性

已知f(x)是定义在R上的奇函数,对任意的x都有f(x+2)=f(x)成立,且当x∈(0,1)时f(x)=2x4x+1.(1)判断f(x)在(0,1)上的单调性

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知f(x)是定义在R上的奇函数,对任意的x都有f(x+2)=f(x)成立,且当x∈(0,1)时f(x)=
2x
4x+1

(1)判断f(x)在(0,1)上的单调性,并加以证明;
(2)求f(x)在[-1,1]上的解析式;
(3)当关于x的方程f(x)-1=2λ在[-1,1]上有实数解时,求实数λ的取值范围,
答案
(1)f(x)在(0,1)上是减函数,证明如下
当x∈(0,1)时,f(x)=
2x
4x+1

设0<x1<x2<1,
则f(x1)-f(x2)=
2x 1
4x1+1
-
2x2
4x2+1
=
(2x2-2x1)(2x1+x2-1)  
4x1+1)(4x2+1)  

∵0<x1<x2<1,∴2x2-2x1>0,2 x1+x2-1>0,
∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
故f(x)在(0,1)上单调递减
(2)当x∈(-1,0)时,-x∈(0,1).
∵f(x)是奇函数,∴f(x)=-f(-x)=-
2x
4x+1

由f(0)=f(-0)=-f(0),且f(1)=-f(-1)=-f(-1+2)=-f(1),
得f(0)=f(1)=f(-1)=0.∴在区间[-1,1]上,有f(x)=





2x
4x+1
     x∈(0,1)
-
2 x
4 x+1
    x∈(-1,0)
0                 x∈{-1,0,1}

(3)f(x)-1=2λ在[-1,1]上有实数解,转化为λ=
1
2
f(x)-
1
2
由函数的单调性求出函数在[-1,1]的值域
即得,f(x)的值域为(-
1
2
,-
2
5
)∪(
2
5
1
2
)∪{0}
λ∈(-
3
4
,-
7
10
)∪(-
3
10
,-
1
4
)∪{-
1
2
}
举一反三
已知函数f(x)是定义在R上的增函数,且f(m+1)>f(2m-1),则m的取值范围是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=





log2
1
x+2
,x>0
3x,x≤0
,则f[f(2)]的值为______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
考查函数(1)y=(1+


2
)x,(2)y=log


2
(x-1),(3)y=x
3
4
,(4)y=x2-4x+1
,其中在(0,+∞)单调递增的有(  )
A.(1)(2)B.(1)(3)C.(2)(3)D.(3)(4)
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=
x
1
3
-x-
1
3
5
g(x)=
x
1
3
+x-
1
3
5

(Ⅰ)证明f(x)是奇函数;
(Ⅱ)证明f(x)在(-∞,-1)上单调递增;
(Ⅲ)分别计算f(4)-5f(2)•g(2)和f(9)-5f(3)•g(3)的值,由此概括出涉及函数f(x)和g(x)的对所有不等于零的实数x都成立的一个等式,并加以证明.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
函数y=
1-22009x
1+x
的图象与y=f(x)的图象关于直线y=x对称,则f(1)=(  )
A.
1-22009
2
B.
1+22009
2
C.0D.-2
题型:单选题难度:一般| 查看答案
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