已知函数f(x)=x13-x-135,g(x)=x13+x-135;(Ⅰ)证明f(x)是奇函数;(Ⅱ)证明f(x)在(-∞,-1)上单调递增;(Ⅲ)分别计算f(
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已知函数f(x)=x13-x-135,g(x)=x13+x-135;(Ⅰ)证明f(x)是奇函数;(Ⅱ)证明f(x)在(-∞,-1)上单调递增;(Ⅲ)分别计算f(
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数
f(x)=
x
1
3
-
x
-
1
3
5
,
g(x)=
x
1
3
+
x
-
1
3
5
;
(Ⅰ)证明f(x)是奇函数;
(Ⅱ)证明f(x)在(-∞,-1)上单调递增;
(Ⅲ)分别计算f(4)-5f(2)•g(2)和f(9)-5f(3)•g(3)的值,由此概括出涉及函数f(x)和g(x)的对所有不等于零的实数x都成立的一个等式,并加以证明.
答案
(Ⅰ)∵函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),是关于原点对称的;
又
f(-x)=
(-x)
1
3
-
(-x)
-
1
3
5
=
-
x
1
3
+
x
-
1
3
5
=-f(x)
∴f(x)是奇函数.(4分)
(Ⅱ)设x
1
<x
2
<-1,则:
f(
x
1
)-f(
x
2
)═
1
5
(
x
1
1
3
-
x
2
1
3
)(1+
1
x
1
1
3
•
x
2
1
3
)
,
∵
x
1
3
-
x
2
1
3
<0
,
1
x
1
x
2
>0
,
(
1
x
1
x
2
)
1
3
>0
1+
1
x
1
1
3
•
x
2
1
3
>0
,
∴f(x
1
)-f(x
2
)<0.即f(x
1
)<f(x
2
)且x
1
<x
2
∴f(x)在(-∞,-1)上单调递增.(8分)
(Ⅲ)算得:f(4)-5f(2)•g(2)=0;f(9)-5f(3)•g(3)=0;
由此概括出对所有不等于零的实数x都成立的等式是:f(x
2
)-5f(x)•g(x)=0(12分)
下面给予证明:∵f(x
2
)-5f(x)•g(x)=
x
2
3
-
x
-
2
3
5
-5•
x
1
3
-
x
-
1
3
5
•
x
1
3
+
x
-
1
3
5
=
1
5
(
x
2
3
-
x
-
2
3
)
-
1
5
(
x
2
3
-
x
-
2
3
)
=0
∴f(x
2
)-5f(x)•g(x)=0对所有不等于零的实数x都成立.(14分)
举一反三
函数
y=
1-
2
2009
x
1+x
的图象与y=f(x)的图象关于直线y=x对称,则f(1)=( )
A.
1-
2
2009
2
B.
1+
2
2009
2
C.0
D.-2
题型:单选题
难度:一般
|
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若规定一种对应关系f(k),使其满足:①f(k)=(p,q)(p<q),且q-p=k;②如果f(k)=(p,q),那么f(k+1)=(q,r),(p,q,r∈N
*
).现已知f(1)=(2,3),则当n∈N
*
时,f(n)=______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
已知函数f(x)=x|x-a|+2x-3.
(1)当a=4,2≤x≤5,求函数f(x)的最大值与最小值;
(2)若x≥a,试求f(x)+3>0的解集;
(3)当x∈[1,2]时,f(x)≤2x-2恒成立,求实数a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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f(x)=lo
g
1
3
(5-4x-
x
2
)
的单调减区间为 ______.
题型:填空题
难度:一般
|
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函数
f(x)=
x
2
-2x
的单调增区间为 ______.
题型:填空题
难度:一般
|
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