已知函数f(x)=cx+1，0＜x＜c2-xc2+1，c≤x＜1满足f(c)=54．（1）求常数c的值；（2）求使f(x)＞28+1成立的x的取值范围．

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)=

cx+1，0＜x＜c 2- x c2 +1，c≤x＜1

满足f(c)=

5

4

．
（1）求常数c的值；
（2）求使f(x)＞

2

8

+1成立的x的取值范围．

答案

（1）因为f（x）=

cx+1，0＜x＜c 2- x c2 +1，c≤x＜1

，
∴f（c）=2-

1

c

+1，又f（c）=

5

4

，
∴2-

1

c

=

1

4

=2^-2，
∴c=

1

2

．（4分）
（2）∵c=

1

2

，
∴f（x）=

1 2 x+1，(0＜x＜ 1 2 ) 2-4x+1，( 1 2 ≤x＜1)

（6分）
当0＜x＜

1

2

时，由f（x）＞

2

8

+1得

1

2

x+1＞

2

8

+1，从而

2

4

＜x＜

1

2

，（8分）
当

1

2

≤x＜1时，解f（x）＞

2

8

+1得
得2^-4x+1＞

2

8

+1，从而

1

2

≤x＜

5

8

，（10分）
综上可得，

2

4

＜x＜

1

2

或

1

2

≤x＜

5

8

，（11分）
所以f（x）＞

2

8

+1的解集为{x|

2

4

＜x＜

5

8

}．（12分）