函数y=f(x)对任意实数x、y满足f(x)+f(y-x)=f(y),且当x>0时,f(x)<0.(1)求证:y=f(x)是奇函数;(2)判断y=f(x)的单调
题型:解答题难度:一般来源:不详
函数y=f(x)对任意实数x、y满足f(x)+f(y-x)=f(y),且当x>0时,f(x)<0. (1)求证:y=f(x)是奇函数; (2)判断y=f(x)的单调性,并证明; (3)对任意t∈[1,2],f(tx2-2x)<f(t+2)恒成立,求x的范围. |
答案
(1)证明:令x=y=0,代入f(x)+f(y-x)=f(y),那么f(0)+f(0)=f(0),所以f(0)=0 再令y=0,那么f(x)+f(-x)=f(0)=0,所以f(-x)=-f(x), 所以函数y=f(x)是奇函数; (2)函数y=f(x)在整个R上是减函数 证明:令y>x,则y-x>0, ∵f(x)+f(y-x)=f(y), ∴f(y)-f(x)=f(y-x), 因为当x>0,f(x)<0,而y-x>0,所以f(y-x)<0 所以f(y)-f(x)<0, 即y>x,f(y)<f(x), 所以函数y=f(x)在整个R上是减函数; (3)对任意t∈[1,2],f(tx2-2x)<f(t+2)恒成立 ∴对任意t∈[1,2],tx2-2x>t+2恒成立 ∴对任意t∈[1,2],(x2-1)t-2x-2>0恒成立, 令函数h(t)=(x2-1)t-2x-2 分三种情况:i、当x2-1=0时,x=1或-1,代入发现不符合(x2-1)t-2x-2>0 ii、当x2-1>0,即x>1或x<-1时,函数h(t)=(x2-1)t-2x-2是增函数,所以最小值为h(1)=x2-2x-3=(x+1)(x-3)>0, 所以x>3或x<-1 所以最后符合的解是:x>3或x<-1 iii、当x2-1<0,即-1<x<1时,函数h(t)=(x2-1)t-2x-2是减函数,所以最小值是h(2)=2x2-2x-4=2(x+1)(x-2)>0, 所以x>2或x<-1,与-1<x<1矛盾 综上知x的范围是:x>3或x<-1 |
举一反三
设函数f(x)满足f(x)=f(4-x),当x>2时,f(x)为增函数,则a=f(1.10.9)、b=f(0.91.1)、c=f(log4)的大小关系是______. |
函数y=()x-log2(x+2)在区间[-1,1]上的最大值为______. |
函数f(x)=在(-∞,+∞)上单调,则a的取值范围是______. |
已知定义在R+上的函数f(x)满足下列条件:①对定义域内任意x,y,恒有f(xy)=f(x)+f(y);②当x>1时f(x)<0;③f(2)=-1 (1)求f(8)的值; (2)求证:函数f(x)在(0,+∞)上为减函数; (3)解不等式:f(2x+2)-f(2x-4)<-3. |
为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目,经测算,该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似的表示为:y= | x3-80x2+5040x,x∈[120,144) | x2-200x+80000,x∈[144,500) |
| | ,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元,若该项目不获得,国家将给予补偿. (I)当x∈[200,300]时,判断该项目能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损? (II)该项目每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低? |
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