为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y（元）与

题型：解答题难度：一般来源：不详

为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：y=

1 3 x3-80x2+5040x，x∈[120，144) 1 2 x2-200x+80000，x∈[144，500)

，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获得，国家将给予补偿．
（I）当x∈[200，300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？
（II）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

答案

（I）当x∈[200，300]时，设该项目获利为S，则
S=200x-(

1

2

x2-200x+80000)=-

1

2

x²+400x-80000=-

1

2

（x-400）²；
当x∈[200，300]时，S＜0，此时该项目不会获利；
当x=300时，S取得最大值-5000，所以，国家每月至少补贴5000元才能使该项目不亏损．
（II）由题意知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：

y

x

=

1 3 x2 -80x+5040，x∈[120，144) 1 2 x+ 80000 x -200，x∈[144，500]

，
则：①当x∈[120，144）时，

y

x

=

1

3

x²-80x+5040=

1

3

（x-120）²+240，∴当x=120时，

y

x

取得最小值240；
②当x∈[144，500]时，

y

x

=

1

2

x+

80000

x

-200≥2

1 2 x• 80000 x

-200=200，
当且仅当

1

2

x=

80000

x

，即x=400时，

y

x

取得最小值200；
∵200＜240，∴当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．