已知定义在R+上的函数f（x）满足下列条件：①对定义域内任意x，y，恒有f（xy）=f（x）+f（y）；②当x＞1时f（x）＜0；③f（2）=-1（1）求f（8
题型：解答题难度：一般来源：不详
已知定义在R+上的函数f（x）满足下列条件：①对定义域内任意x，y，恒有f（xy）=f（x）+f（y）；②当x＞1时f（x）＜0；③f（2）=-1
（1）求f（8）的值；
（2）求证：函数f（x）在（0，+∞）上为减函数；
（3）解不等式：f（2x+2）-f（2x-4）＜-3． |
答案
（1）在f（xy）=f（x）+f（y）中，令x=y=2，可得f（4）=f（2）+f（2）=-2，
令x=2，y=4可得，f（8）=f（2）+f（4）=-3，
则f（8）=-3；
（2）设0＜x1＜x2＜+∞，则＞1，则f（）＜0，
f（x2）-f（x1）=f（•x1）-f（x1）=f（）＜0，
即f（x2）＜f（x1），
则f（x）在（0，+∞）为减函数，
（3）f（2x+2）-f（2x-4）＜-3，即f（2x+2）-f（2x-4）＜f（8），
f（2x+2）＜f（2x-4）+f（8）=f[8•（2x-4）]，
又由f（x）在（0，+∞）为减函数，
∴解得：2＜x＜3
故2＜x＜3． |
举一反三
为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：y= | | x3-80x2+5040x，x∈[120，144) | | x2-200x+80000，x∈[144，500) |
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，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获得，国家将给予补偿．
（I）当x∈[200，300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？
（II）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ |
| 已知函数y=+的最大值为M，最小值为m，则的值为______． |
| 函数f（x）=x+sinx（x∈R），若f（a）=1，则f（-a）=______． |
设f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数，当n∈N*时，f（n）∈N*，且f[f（n）]=2n+1，则（ ）| A．f（1）=3，f（2）=4 | B．f（1）=2，f（2）=3 | C．f（2）=4，f（4）=5 | D．f（2）=3，f（3）=4 |
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| 已知集合M={（x，y）|（x+）（y+）=1}，则集合M表示的图形是______． |
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