已知函数f(x)对任意x,y∈R总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时,f(x)<0,f(1)=-23.(1)求证:f(x)为减函数;(2)求f(x

已知函数f(x)对任意x,y∈R总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时,f(x)<0,f(1)=-23.(1)求证:f(x)为减函数;(2)求f(x

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)对任意x,y∈R总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时,f(x)<0,f(1)=-
2
3

(1)求证:f(x)为减函数;
(2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.
答案
(1)设在R上任意取两个数m,n且m>n
则f(m)-f(n)=f(m-n)
∵m>n∴m-n>0
而x>0时,f(x)<0则f(m-n)<0
即f(m)<f(n)
∴f(x)为减函数;
(2)由(1)可知f(x)max=f(-3),f(x)min=f(3).
∵f(x)+f(y)=f(x+y),令x=y=0
∴f(0)=0
令y=-x得f(x)+f(-x)=f(0)=0即f(-x)=-f(x)
∴f(x)是奇函数
而f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=-2,则f(-3)=2
∴f(x)max=f(-3)=2,f(x)min=f(3)=-2.
举一反三
定义在R上的偶函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,且f(
1
2
)=0;A为△ABC的内角,且满足f(cosA)<0,则A的取值范围是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=





0  x∈{x|x=2n+1,n∈Z}
1  x∈{x|x=2n,n∈Z}
,求f(f(-3))的值.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
己知函数f(x)=
2x-1
2x+1

(Ⅰ)证明函数f(x)是R上的增函数;
(Ⅱ)求函数f(x)的值域.
(Ⅲ)令g(x)=
x2
2f(x)
.判定函数g(x)的奇偶性,并证明.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
函数f(x)=
ax+1
x+2
在区间(-2,+∞)上为增函数,则a的取值范围为(  )
A.a=
1
2
B.(-∞,
1
2
)
C.(
1
2
,+∞)
D.(-2,
1
2
)
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知f(x2+1)=x4+4x2,则f(x)在其定义域内的最小值为(  )
A.-4B.0C.-1D.1
题型:单选题难度:简单| 查看答案
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