已知函数f（x）对任意x，y∈R总有f（x）+f（y）=f（x+y），且当x＞0时，f（x）＜0，f(1)=-23．（1）求证：f（x）为减函数；（2）求f（x
题型：解答题难度：一般来源：不详
已知函数f（x）对任意x，y∈R总有f（x）+f（y）=f（x+y），且当x＞0时，f（x）＜0，f(1)=-．
（1）求证：f（x）为减函数；
（2）求f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值． |
答案
（1）设在R上任意取两个数m，n且m＞n
则f（m）-f（n）=f（m-n）
∵m＞n∴m-n＞0
而x＞0时，f（x）＜0则f（m-n）＜0
即f（m）＜f（n）
∴f（x）为减函数；
（2）由（1）可知f（x）max=f（-3），f（x）min=f（3）．
∵f（x）+f（y）=f（x+y），令x=y=0
∴f（0）=0
令y=-x得f（x）+f（-x）=f（0）=0即f（-x）=-f（x）
∴f（x）是奇函数
而f（3）=f（1）+f（2）=3f（1）=-2，则f（-3）=2
∴f（x）max=f（-3）=2，f（x）min=f（3）=-2． |
举一反三
| 定义在R上的偶函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，且f（）=0；A为△ABC的内角，且满足f（cosA）＜0，则A的取值范围是______． |
已知函数f(x)= | | 0 x∈{x|x=2n+1，n∈Z} | | 1 x∈{x|x=2n，n∈Z} |
| |
，求f（f（-3））的值． |
己知函数f(x)=，
（Ⅰ）证明函数f（x）是R上的增函数；
（Ⅱ）求函数f（x）的值域．
（Ⅲ）令g(x)=．判定函数g（x）的奇偶性，并证明． |
函数f(x)=在区间（-2，+∞）上为增函数，则a的取值范围为（ ）| A．a= | B．(-∞，) | C．(，+∞) | D．(-2，) |
|
| 已知f（x2+1）=x4+4x2，则f（x）在其定义域内的最小值为（ ） |
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