已知函数f(x)=1+2x-1,g(x)=f(2x)(1)用定义证明函数g(x)在(-∞,0)上为减函数.(2)求g(x)在(-∞,-1]上的最小值.
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已知函数f(x)=1+2x-1,g(x)=f(2x)(1)用定义证明函数g(x)在(-∞,0)上为减函数.(2)求g(x)在(-∞,-1]上的最小值.
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数
f(x)=1+
2
x-1
,g(x)
=f(2
x
)
(1)用定义证明函数g(x)在(-∞,0)上为减函数.
(2)求g(x)在(-∞,-1]上的最小值.
答案
(1)
g(x)=f(
2
x
)=1+
2
2
x
-1
,
∵2
x
-1≠0⇒x≠0,∴函数g(x)的定义域{x|x∈R且x≠0},
设x
1
,x
2
∈(-∞,0)且x
1
<x
2
,
则
g(
x
1
)-g(
x
2
)=
2
2
x
1
-1
-
2
2
x
2
-1
=
2(
2
x
2
-
2
x
1
)
(
2
x
1
-1)(
2
x
2
-1)
,
∵x
1
,x
2
∈(-∞,0)且x
1
<x
2
,
∴
2
x
2
>
2
x
1
且
2
x
1
<1,
2
x
2
<1⇒g(
x
1
)-g(
x
2
)>0,即g(
x
1
)>g(
x
2
)
,
根据函数单调性的定义知:函数g(x)在(-∞,0)上为减函数.
(2)由(1)知函数g(x)在(-∞,0)上为减函数,
∴函数g(x)在(-∞,-1]上为减函数,
∴当x=-1时,
g(x
)
min
=g(-1)=1+
2
2
-1
-1
=-3
.
举一反三
若函数f(x)满足
f(n)=
2
,n=1
3f(n-1)
,n≥2
,则f(3)=______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
定义在[1,4]上的函数f(x)=x
2
-2bx+
b
4
(1)b=1时,求函数的最值;
(2)若函数是单调函数,求b的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
已知函数f(x)=
2-ax
(a≠0)在区间〔0,1〕上是减函数,则实数a的取值范围是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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设关于x的方程x
2
-mx-1=0有两个实根α,β,且α<β.定义函数
f(x)=
2x-m
x
2
+1
(1)当α=-1,β=1时,判断f(x)在R上的单调性,并加以证明;
(2)求αf(α)+βf(β)的值.
题型:解答题
难度:一般
|
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函数
y=lo
g
0.8
(-
x
2
+4x)
的单调递减区间是( )
A.(0,2]
B.[2,4)
C.(-∞,2]
D.[2,+∞)
题型:单选题
难度:简单
|
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