函数f(x)=12x2- (a+b)x2+1+92,g(x)=ax2-b(a、b、x∈R),集合A={x|12x2-3x2+1+92≤0},(1)求集合A;(2

函数f(x)=12x2- (a+b)x2+1+92,g(x)=ax2-b(a、b、x∈R),集合A={x|12x2-3x2+1+92≤0},(1)求集合A;(2

题型:解答题难度:一般来源:不详
函数f(x)=
1
2
x2- (a+b)


x2+1
+
9
2
,g(x)=ax2-b(a、b、x∈R),集合A={x|
1
2
x2-3


x2+1
+
9
2
≤0}

(1)求集合A;
(2)如果b=0,对任意x∈A时,f(x)≥0恒成立,求实数a的范围;
(3)如果b>0,当“f(x)≥0对任意x∈A恒成立”与“g(x)≤0在x∈A内必有解”同时成立时,求a的最大值.
答案
(1)令


x2+1
=t≥1
,则x2=t2-1,
f(x)≤0,即
1
2
x2-3


x2+1
+
9
2
≤0
,即t2-6t+8≤0,(t-2)(t-4)≤0
∴2≤t≤4,所以2≤


x2+1
≤4,所以x∈[-


15
,-


3
]∪[


3


15
]

即A=[-


15
,-


3
]∪[


3


15
]

(2)f(x)≥0恒成立也就是
1
2
x2- a


x2+1
+
9
2
≥0
恒成立,
1
2
x2+
9
2
≥  a


x2+1



x2+1
≥1
,∴a≤
1
2
x2+
9
2


x2+1



x2+1
=t
,则t∈[2,4],则y=
t2+8
2t
=
1
2
(t+
8
t
)
,∴a≤y恒成立,∴a≤ymin
由导数可知,当t=2


2
时,ymin=
1
2
×2


8
=2


2

∴a≤2


2

(3)对任意x∈A,f(x)≥0恒成立,∴a+b≤
1
2
x2+
9
2


x2+1
=
1
2
x2+9


x2+1

由(2)可知a+b≤2


2
       ①,
由g(x)=ax2-b≤0有解,ax2-b≤0有解,即a≤(
b
x2
)
max

∵b>0,∴a≤(
b
x2
)
max
=
b
3

∴3a-b≤0        ②
①+②可得a


2
2

所以a的最大值为


2
2
,此时b=
3


2
2
举一反三
已知f(x)=x5+ax3+bx-8,若f(-2)=10,则f(2)=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
若f(x)是定义在(0,+∞)上的单调增函数,且f(x)>f(2-x),则x的取值范围是(  )
A.x>1B.x<1C.0<x<2D.1<x<2
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知f(x)满足f(a•b)=f(a)+f(b)且f(2)=p,f(3)=q,则f(36)=(  )
A.2pqB.2(p+q)C.p2q2D.p2+q2
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=
ax+b
1+x2
是定义在(-1,1)上的奇函数,且f(
1
2
)=
2
5

(1)求函数f(x)的解析式;
(2)用单调性的定义证明f(x)在(-1,1)上是增函数;
(3)解不等式f(t2-1)+f(t)<0.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数.
(1)求k的值;
(2)定理:函数g(x)=ax+
b
x
(a、b是正常数)在区间(0,


b
a
)
上为减函数,在区间(


b
a
,+∞)
上为增函数.参考该定理,解决下面问题:是否存在实数m同时满足以下两个条件:①不等式f(x)-
m
2
>0
恒成立;②方程f(x)-m=0有解.若存在,试求出实数m的取值范围,若不存在,请说明理由.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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